Подбор эмпирических формул

Подбор эмпирических формул служит для приближенного выражения функциональной зависимости между величинами по данным измерений их собственных значений. Следует различать две задачи: нахождение параметров формул заданного вида и подбор формул возможно более простого вида.

1. Нахождение параметров линейных зависимостей методом наименьших квадратов.

Для линейной функции одной переменной

Параметры a и b находятся по формулам

,

,

где N – общее количество соответствующих данных знак ∑ означает суммирование по всем данным, например:

.

Параметры a и b, найденные по указанным формулам, обладают тем свойством, что для них сумма квадратов разностей

принимает наименьшее значение. В случае равноточных независимых измерений значений x_k, y_k указанные формулы дают наиболее вероятные значения параметров a и b.

Формула для параметра a не меняется при линейных преобразованиях величин x и y вида:

,

,

это обстоятельство служит для упрощения вычислений.

Если значение аргумента x отличается на постоянное число h и количество данных нечетно, т.е.

,

то линейная функция находится по формуле

,

где

,

.

Для линейной функции двух переменных

параметры a, b, c находятся из системы линейных уравнений

,

где N – общее количество соответствующих данных ; знак ∑ означает суммирование по всем данным.

Параметры a, b, c, найденные из указанной системы, обладают тем свойством, что для них сумма квадратов разностей

принимает наименьшее значение. В случае равноточных независимых измерений решение указанной системы дает наиболее вероятные значения параметров a, b, c.

Если значения z измерены для сетки равноотстоящих значений x и y:

; ,

; ,

то линейная функция находится по формуле

,

,

,

причем суммы ∑ берутся по всем данным.

Аналогичные формулы имеют место для линейных функций большего числа переменных.

2. Нахождение параметров многочленов методом наименьших квадратов.

Для многочлена

(степени n < N) параметры a₀, a₁, …, a_n находятся из системы линейных уравнений

,

где N – общее количество соответствующих данных (x_k, y_k); знак ∑ означает суммирование по всем данным.

Параметры a₀, a₁, …, a_n найденные из указанной системы, обладают тем свойством, что для них сумма квадратов разностей

принимает наименьшее значение. В случае равноточных независимых измерений значений x_k, y_k решение указанной системы дает наиболее вероятные значения параметров a ₀, a ₁, …, a_n.

Нахождение параметров многочлена значительно упрощается, если значения y_k измерены для нечетного количества равноотстоящих значений аргумента

; .

В этом случае многочлен находится по формуле

,

где

,

,

; (v=0, 1, 2, …, n),

где – ортогональные многочлены Чебышева.

Формулы для первых пяти многочленов Чебышева (расчет в табл. 7):

; ;

; ;

; ;

; ; ;

; ; .

Таблица 7. Коэффициенты первых пяти многочленов Чебышева

N = B0	B1	3c2		5c3		7c4

Примеры.

Многочлен второй степени для пяти точек, где

,

где

; ; .

Многочлен третьей степени для семи точек

где

;

;

.

Примечание. Простота нахождения многочленов в случае равноотстоящих значений аргумента показывает, как важно при планировании эксперимента учитывать возможности дальнейшей математической обработки экспериментальных данных.

Оценка погрешности приближения величины y многочлена производится по формуле

.

При увеличении степени подбираемого многочлена на единицу, ранее найденные параметры A ₀, A ₁ …, A _n не изменяются, к многочлену добавляется новый член , и погрешность уменьшается на .

3. Нормальная система уравнений при нахождении параметров методом наименьших квадратов. Если в формулу заданного вида

искомые параметры a ₀, a ₁ …, a _n (n < N) входят линейно, то они находятся из нормальной системы линейных уравнений:

где

; ;

1, 2, …, n; N – общее количество соответствующих данных (x_k, y_k).

4. Нахождение параметров методом выравнивания (спрямления).

Выравнивание (спрямление) заключается в таком преобразовании переменных x и y к новым переменным X и Y, чтобы зависимости между новыми переменными была линейной. Выравнивание применяются только для формул, содержащих два параметра.

Примечание. Найденные параметры не удовлетворяют принципу наименьших квадратов для зависимости y от x.

Таблица 8. Примеры.

Формула	Преобразование	Выровненная формула
	;
	;
	;
	;

– функция, обратная интегралу вероятностей.

5. Подбор вида формулы. Если вид формулы неизвестен, то её подбирают по характеру расположения точек (x_k, y_k) на графике, пользуясь таблицами кривых.

Если подбор формулы производится на небольшом участке, а им практически пригодны многие формулы, то обычно ограничиваются наиболее простым функциями, например многочленами невысокой степеней, дробно-линейными функциями показательными или логарифмическими функциями. Для периодических функций подбирают тригонометрический полином.

При подборе формул с двумя параметрами широко применяется графическое выравнивание при помощи функциональных сеток (логарифмическая бумага, полулогарифмическая бумага, клетчатка вероятностей и т.п.). Например, если на полулогарифмической бумаге точки (x_k, y_k) ложатся на прямую линию, то зависимость y от x Описывается показательной функцией .

5.4 Сглаживание эмпирических данных

Сглаживание применяется при экспериментальном изучении зависимости y от x для исключения случайных ошибок измерений значений y.

Сглаживание заключается в исправлении каждого измеренного значения y₀ путем учета близких к нему значений , , …

Сглаживание производится в предположении, что в некоторой окрестности точки x ₀ истинная зависимость y от x достаточно хорошо выражается многочленом невысокой степени. Значение этого многочлена в точке x ₀ и принимается за исправленное значение y ₀.

При сглаживании многочленом второй или третьей степени для равноотстоящих значений аргумента пользуются формулой

,

где

; ;

значения с ₂ и B ₂ даны в табл. 7.

Наиболее распространена формула сглаживания по семи точкам

,

где y_k – значение функции для равноотстоящих значений аргумента

; .

Эта формула применяется для сглаживания всех значений y, кроме трех первых и трех последних.