Асимптотические направления и асимптоты

Литература: [1], гл. 17, § 3, стр. 434–440; [7], гл. 4, § 32, стр. 109–114.

Основные сведения

Направление, определяемое ненулевым вектором , является асимптотическим направлением относительно линии второго порядка, заданной общим уравнением, тогда и только тогда, когда .

Если то , где , .

Если , то асимптотические направления определяются векторами и .

Теорема. Если > 0, то линия второго порядка не имеет асимптотических направлений, если =0, то – одно асимптотическое направление, если < 0, то – два асимптотических направления.

Лемма. Направление ненулевого вектора является асимптотическим направлением относительно линии второго порядка параболического типа, заданного общим уравнением, тогда и только тогда, когда .

Вопросы для повторения

1. Как могут располагаться на плоскости кривая второго порядка и прямая?

2. Какое направление называется асимптотическим относительно линии второго порядка?

3. Сколько различных асимптотических направлений может иметь линия второго порядка?

4. Приведите примеры линий, которые: 1) не имеют асимптотических направлений; 2) имеют одно асимптотическое направление; 3) имеют два асимптотических направления; 4) имеют более двух асимптотических направлений.

5. Может ли иметь асимптотические направления линия второго порядка, если: а) для коэффициентов общего уравнения линии второго порядка выполнено условие ; б) члены второго порядка из ее общего уравнения образуют полный квадрат; в)
и .

Задачи

1. Выяснить, имеют ли оси координат асимптотическое направление относительно линии второго порядка, заданного уравнением:

а)

б)

в)

г) ?

2. Найти векторы асимптотического направлений линии второго порядка, заданной уравнением:

а) ;

б) ;

в) .

3. Через точку A (2, 0) проведены две прямые, имеющие лишь по одной общей точке с линией, заданной в прямоугольной декартовой системе координат уравнением . Написать уравнения этих прямых и найти угол между ними.

4. Написать общее уравнение линии второго порядка, для которой ось абсцисс: а) имеет асимптотическое направление; б) не имеет с линией общих точек.

5. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку A (0, 5) и имеющей асимптоты, заданные уравнениями .

6. Написать уравнение кривой второго порядка, для которой оси координат являются асимптотами и которая: 1) проходит через начало координат; 2) проходит через точку (1, 2).

Задачи повышенной трудности

1. Какой вид имеет общее уравнение линии второго порядка, имеющего пересекающиеся прямые своими асимптотами.

2. Какому условию удовлетворяют коэффициенты общего уравнения гиперболы, заданного в прямоугольной декартовой системе координат, если гипербола равносторонняя?

3. Пусть кривая второго порядка дана общим уравнением , коэффициенты которого удовлетворяют условиям , где . Доказать, что если координаты вектора удовлетворяют условиям , то прямая, параллельная вектору , является асимптотой кривой.

4. Доказать, что две линии второго порядка, заданные общими уравнениями, имеют общие асимптоты тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты их уравнений, кроме свободных членов, пропорциональны.

Домашнее задание

1. Написать общее уравнение линии второго порядка, для которой обе координатные оси: а) имеют асимптотические направления; б) не имеют с линией общих точек.

2. Написать уравнения прямых, проходящих через начало координат и пересекающих линию, заданную уравнением

,

лишь в одной точке.

3. Написать уравнения асимптот следующих кривых:

1) ; 2) .

Тема 3.6. Центр линии второго порядка. Касательная

Литература: [1], гл. 17, § 4-6, стр. 440–448; [7], гл. 4, § 33, 34, стр. 114–119.

Основные сведения

Лемма: Дан вектор неасимптотического направления линии второго порядка, заданное уравнением

.

Для того чтобы точка была серединой какой-нибудь хорды, параллельной вектору , необходимо и достаточно, чтобы .

Теорема 1. Для того чтобы точка была центром линии второго прядка, заданного уравнением , необходимо и достаточно, чтобы пара чисел была решением системы:

Теорема 2. В каждой обыкновенной точке линии второго порядка существует одна и только одна касательная. Если линия задана общим уравнением, то касательная в точке этой линии имеет уравнение:

Вопросы для повторения

1. Что называется центром линии второго порядка?

2. Сколько центров может иметь линия второго порядка? Обоснуйте ответ.

3. Какие линии второго порядка называются центральными? Приведите примеры центральных и нецентральных линий второго порядка.

4. Что можно сказать о центрах линий второго порядка, уравнения которых отличаются только свободными членами?

5. Может ли линия второго порядка, заданная уравнением не иметь центров?

6. Какие точки называются особыми? Назовите все линии второго порядка, которые: 1) не имеют особых точек; 2) имеют только одну особую точку; 3) имеют более одной особой точки.

7. Все линии параболического типа являются нецентральными. Верно ли обратное утверждение?

8. Сформулируйте определение касательной к кривой второго порядка. Покажите касательную на чертеже в конкретном случае. Какие различные определения касательной к кривой вам известны?

9. Какой вид примет уравнение касательной к эллипсу (гиперболе, параболе), если она задана каноническим уравнением?

10. Может ли линия второго порядка иметь с некоторой прямой: 1) не менее двух точек касания; 2) только две точки касания?

11. Сформулируйте оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы. Выполните соответствующие чертежи.

Задачи

1. Найти множество центров линии второго порядка, заданных уравнениями:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. Написать общий вид уравнения линии второго порядка, имеющей хотя бы один центр, совпадающий с началом координат.

3. Написать уравнение линии второго порядка, если ее центр совпадает с точкой C (0, –1), линия проходит через точку M (3, 0) и пересекает каждую из прямых лишь в одной точке.

4. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в общем уравнении линии второго порядка, чтобы ось OX была ее линией центров?

5. Доказать, что если кривая второго порядка имеет линию центров, то она распадается на пару параллельных или совпавших прямых.

6. Доказать, что линия второго порядка, имеющая особую точку, является распадающейся.

7. Доказать, что если вершины параллелограмма лежат на линии второго порядка, то центр параллелограмма является центром линии второго порядка.

8. Написать уравнения касательных, проведенных через точку A (–2, 1) к линии, заданной уравнением .

9. Написать уравнения асимптот гиперболы:

.

Задачи повышенной трудности

1. Написать общее уравнение линии второго порядка, если она касается оси абсцисс в начале координат.

2. Написать уравнения общих касательных двух эллипсов, заданных уравнениями .

3. Найти множество точек плоскости, из которых эллипс (гипербола, парабола) видны под прямым углом.

Домашнее задание

1. Написать уравнение параболы, касающейся оси абсцисс в точке A (3, 0) и оси ординат в точке B (0, 5).

2. Доказать, что в параболу нельзя вписать параллелограмм.

3. Линия второго порядка проходит через точки A (0, 1), B (1, 0), O (0, 0) и симметрична относительно точки C (2, 3). Написать уравнение касательной к этой линии в начале координат.

4. Написать уравнения тех касательных к линии, заданной уравнением , которые параллельны прямой .

Тема 3.7. Сопряженные направления. Главные направления.