Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Закон сохранения энергии в механике.






Полной механической энергией системы называют величину W, равную сумме кинетической и потенциальной энергий этой системы:

W = Wп + Wк

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной (закон сохранения энергии в механике).

Для доказательства закона сохранения механической энергии рассмотрим систему материальных точек движущихся со скоростями Запишем по второму закону Ньютона уравнения для каждой точки, как и в случае доказательства закона сохранения импульса:

m1= (F1-2 + F1-3 + F1-n) + F1*

........................

mn= (Fn-1 + Fn-2 + Fn(n-1)) + Fn*

 

           
 
     
 


F1, F2 ......Fn - это внешние неконсервативные силы, кроме того в скобках, в отличие от доказательства закона сохранения импульса, могут быть не только консервативные внутренние силы, но и внешние консервативные, т.е. сумма в скобках не равна нулю.

Каждое из уравнений умножим на υ 1dt = dr и, сложив все равенства почленно, получим:

Если внешние консервативные силы отсутствуют, то с учетом, что

, а второй член равен убыли потенциальной энергии - , можно записать

dWк + dWп = 0 или d (Wк + Wп) = 0, откуда

Wк + Wп = const

Таким образом, доказали, что полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Из доказательства следует, что это закон для систем, где действуют только консервативные силы.

 

 

12) Динамика вращательного движения.

 

При вращательном движении все точки твердого тела в каж­дый момент времени имеют одинаковые угловые скорости ω и ускорения ε. Линейные же скорости и ускорения для этих же то­чек пропорциональны расстоянию r частиц до оси вращения, и определяются известными формулами:

υ = ω ∙ r и a = ε ∙ r

Определим кинетическую энергию вращающегося тела вокруг про­ходящей через него неподвижной оси. Мысленно разобьем тело на малые отдельные объемы с массой mi на расстоянии ri от оси враще­ния (рис.1.4). Если тело вращается с угловой скоростью ω i, то кинетическая энергия i - того объема

равна miυ i, а всего тела:

W = (m1υ 12 + m2υ 22 +... +mnυ n2) = ω 2 (m1r12 + m2r22 +... + mnrn2)

       
 
   
Величина называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения. Сумма называется моментом инерции тела относительно оси вращения, или  
 


 

mi

ri

(4.1)

 

Момент инерции тела (точки) характеризует инерционные свойства тела (точки) относительно выбранной оси вращения.

Кинетическая энергия вращающегося тела определяется уравнением:

(4.2)

Произвольное движение твердого тела можно рассматривать как совокупность поступательного движения тела со скоростью центра инерции u и вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр инерции.

(4.3)

Пользуясь формулой (4.1), можно вычислить, например, момент инерции однородного стержня длинной l, и массой m относительно оси, проходящей через конец стержня (рис.4.2). l

Из рисунка dm = ∙ dr. Применив (4.1), получим Á = = (4.4)

Pис.4.2

 

Если известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции тела Á 0 , то можно вычислить момент инерции Á относительно параллельной оси на произвольном расстоянии d от первой оси по теореме Штейнера (рис.4.3):

Á =Á 0 + md2, (4.5) где m – масса тела.

где m - масса тела.

Эта формула является математическим выражеием теории Штейнера. Момент инерции Ј относительно произвольной оси равен сумме момента инерции Á 0 относительно оси параллелной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями.

Рис. 4.3. Пусть вокруг оси вращается тело (рис.4.4). На рисунке ось 0 перпендикулярна плоскости чертежа. Ясно, что силы, направленные параллельно оси вращения, могут лишь сдвинуть тело вдоль оси, но не могут произвести вращения. Поэтому можно рассмат­ривать только силы, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Момент такой силы относительно оси 0 дается величиной векторного

произведения r ∙ F, где r - вектор расстояния точки приложения силы от оси. Точка A есть точка приложения силы. По определению векторного произведения имеем:

 

(4.6)

где q - угол между F и r. Иначе можно записать M= l F, где l = r ∙ sinθ - плечо силы (расстояние от оси до направления действия силы). M - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.