Исследование функций взаимной корреляции случайных процессов и их производных

1. Цели работы:

Исследование функций взаимной корреляции стационарных случайных процессов и их производных, изучение методов аппаратурного корреляционного анализа совокупности случайных процессов.

2. Некоторые сведения из теории случайных процессов:

Функцией взаимной корреляции случайных процессов X(t) и Y(t) называется смешанный центральный момент второго порядка системы двух сечений Х(t₁), Y(t₂), рассматриваемый как функция моментов времени t₁ и t₂:

(1)

где W(x₁, y₂) – плотность вероятности системы случайных величин X₁ и Y₂;

x₁, y₂ – значения сечений X(t₁) и Y(t₂) соответственно;

m_x1, m_y2 – математические ожидания сечений X(t₁) и Y(t₂).

В случае стационарных и стационарно связанных случайных процессов X(t) и Y(t) функция взаимной корреляции не зависит от значений моментов времени t₁ и t₂, а зависит от их разности τ = t₁ - t₂.

Функция взаимной корреляции К_ху(τ) характеризует линейную статистическую связь стационарных и стационарно связанных случайных процессов X(t) и Y(t) в зависимости от их временного сдвига относительно друг друга. В точках, где значения функции взаимной корреляции К_ху(τ) равны нулю линейная зависимость Y(t) от X(t) и наоборот отсутствует.

Рассмотрим основные свойства функции взаимной корреляции . Здесь угловые скобки означают вычисление математического ожидания. Предполагается также, что процессы X(t) и Y(t) имеют нулевые математические ожидания. При выборе индексов обозначения функции К_ху(τ) на первое место условно ставится опережающий процесс. Отсюда следует:

(2)

Таким образом перемена порядка следования индексов эквивалентна изменению знака переменной τ.

В общем случае функция корреляции К_ху(τ) не является ни четной, ни нечетной функцией. Поэтому взаимная спектральная плотность мощности процессов X(t) и Y(t) в общем случае является комплексной функцией.

(3)

Рассмотрим ряд конкретных функций взаимной корреляции.

В качестве первого примера найдем функцию взаимной корреляции между процессами на выходе и на входе линейной цепи. Выражение, связывающее выходной и входной процессы в указанном выше случае имеет вид:

(4)

где g(t) – импульсная реакция цепи.

(5)

Полученное выражение справедливо как для переходного, так и для стационарного режима. В стационарном режиме пределы интегрирования могут быть бесконечными, а функция корреляции не зависит от времени. Тогда:

(6)

где К_х(τ) – функция автокорреляции входного процесса Х(t).

Таким образом, функция взаимной корреляции стационарных процессов на выходе и входе линейной цепи равна свертке функции корреляции входного процесса и импульсной реакции цепи.

Применяя к левой и правой части (6) преобразование Фурье в форме, представленной равенством (3), можно получить:

(7)

где S_yx (jω) – взаимная спектральная плотность мощности процессов Y(t) и X(t);

K (jω) – коэффициент передачи цепи;

S_x (ω) – спектральная плотность мощности процесса X(t).

Взаимная спектральная плотность мощности входного X(t) и выходного Y(t) процесса может быть получена обращением по Фурье взаимной функции корреляции K_xy(τ), которая связана с K_yx(τ) равенством (2).

(8)

где проведена замена переменной интегрирования τ на –θ.

Используя полученное выражение и равенство (7), можно получить выражение для взаимной спектральной плотности процессов на входе и выходе линейной цепи:

(9)

Полученные результаты можно использовать для исследования функции взаимной корреляции случайного процесса и его производной по времени.

Как известно из теории цепей, коэффициент передачи дифференцирующей цепи, процесс на выходе которой равен производной входного процесса, можно представить выражением:

(10)

В этом случае функция взаимной корреляции производной случайного процесса и исходного процесса X(t) может быть записана в виде:

(11)

Таким образом, функция взаимной корреляции между производной и случайным процессом равна производной функции корреляции случайного процесса.

Отметим основные свойства функции взаимной корреляции , где – производная процесса X(t).

1. Известно, что функция корреляции K_x(τ) стационарного случайного процесса является чётной функцией τ и в точке τ =0 имеет максимум, равный дисперсии. Следовательно, функция взаимной корреляции является нечетной функцией и , то есть в одинаковые моменты времени стационарный процесс и его производная не коррелированны, а в случае нормального распределения X(t) и независимы.

2. Если функция корреляции K_x(τ) недифференцируемая, то случайный процесс X(t) считается недифференцируемым.

3. В связи с тем, что функция K_x(τ) в начале координат максимальна, то ее производная при τ = 0 равна нулю. Поэтому при монотонном характере функции корреляции K_x(τ) при τ > 0 ее производная отрицательна, а при τ < 0 положительна. В силу того, что функция корреляции K_x(τ) является четной, то функция не четна. При увеличении абсолютного значения τ функция взаимной корреляции стремится к нулю.

Рассмотрим функции взаимной корреляции случайных процессов на выходах цепей б) и в) лабораторной работы № 4 (см. рисунок 2 работы № 4) и их производных. Принципиальные схемы цепей б) и в) представлены на рисунке 1.

Рисунок 1 – Принципиальные схемы цепей, формирующих

случайные процессы X ₂(t) и X ₃(t)

Резистор R в цепи в) может быть замкнут специальным проводником.

Нормированные корреляции процессов X ₁(t) и X ₃(t) имеют вид:

(12)

где T=RC;

(13)

где , , ,

r – сопротивление потерь в катушке индуктивности цепи в).

Равенство (13) получено в предположении, что резистор R замкнут (на схеме рисунка 1, в отсутствует).

Аналогично, функция взаимной корреляции случайного процесса X ₂(t) и его производной по времени равна:

(14)

где – функция гиперболического синуса.

Функция взаимной корреляции процесса X ₃(t) и его производной по времени может быть представлена в виде:

(15)

Как видно из приведенных выражений, обе функции взаимной корреляции нечетны, поэтому при экспериментальных исследованиях достаточно снять их зависимость от сдвига τ либо при положительных, либо при отрицательных его значениях.

3. Характеристика лабораторной установки:

Лабораторная работа выполняется на блоке № 2 «Спектры и корреляционные функции». Упрощённая функциональная схема выполнения лабораторной работы представлена на рисунке 2.

Рисунок 3 – Упрощенная функциональная схема выполнения

лабораторной работы № 5

Генератор шума (ГШ) формирует случайный широкополосный процесс, математической моделью которого является белый шум – случайный процесс с постоянной, независящей от частоты спектральной плотностью мощности. Подключая с помощью перемычек исследуемые цепи, можно сформировать процессы X₁ (t), X₂ (t) и X₃ (t), описанные в методических указаниях к лабораторной работе № 4. Эти процессы поступают на дифференцирующий операционный усилитель, выходные процессы которого совместно с исходными процессами подаются на коррелятор, состоящий из устройства управляемой переменной задержки, перемножителя и фильтра нижних частот ФНЧ, выполняющего операцию нахождения среднего значения произведения двух перемножаемых процессов:

(16)

Здесь К ₀ – постоянный коэффициент, учитывающий коэффициенты передачи дифференцирующего операционного усилителя и перемножителя; T_y – время усреднения, в первом приближении равно постоянной времени ФНЧ коррелометра. Управление временем задержки переключателями.

В связи с наличием на выходе схемы перемножения постоянной составляющей, не зависящей от произведения входных процессов, при построении графиков функций взаимной корреляции необходимо из напряжения на выходе u_к (τ _з), соответствующего времени задержки τ _з, вычесть показания вольтметра, полученные при нулевой задержке, то есть строить функцию взаимной корреляции по формуле:

(17)

где u_кi(τ _з) – показания вольтметра (или осциллографа) при измерении значения функции взаимной корреляции случайного процесса X_i(t) и его производной по времени при τ = τ _з.

Структурная схема Simulink-модели, соответствующая реальной установке, изображённой на рисунке 3, приведена на рисунке 4. Здесь гауссов белый шум с генератора Gaussian Noise Generator или равномерный белый шум с генератора Uniform Noise Generator сразу подаётся на входы всех трёх исследуемых цепей, а к коррелометру (блок XY-Correlometer) выходы цепей подключаются с помощью переноса точек подсоединения. Отличие коррелометра в настоящей работе от коррелометра в предыдущей состоит в том, что блок XY-Correlometer имеет два входа, на которые можно подавать как один и тот же сигнал (это определение АКФ), или различные сигналы (это определение ВКФ). Время задержки задаётся как единственный параметр коррелометра и меняется от 0 до 10* RC мкс. Поскольку постоянная времени, как и ранее, принята равной одной секунде (RC = 1 с), то в модели максимальная задержка практически для всех цепей лежит за пределами времени корреляции каждого из процессов.

Рисунок 4 – Блок-схема модели для исследования статистических

характеристик случайных процессов и их производных

Индикация результатов моделирования проводится следующим образом. Во-первых, выходные сигналы и их производные от каждой цепи можно наблюдать на осциллографах ScopeRC, Scope2RC и ScopeRLC соответственно. Во-вторых, все эти шесть процессов передаются в рабочее пространство системы MATLAB, где в дальнейшем их цифровые модели обрабатываются и зарисовываются с помощью М-функции LabRabRCS5Obr. В-третьих, к выходу блока коррелометра подключён цифровой дисплей, на котором в конце времени моделирования T можно получить числовую оценку уровня корреляции R _x(tau) ≈ R _x(T, tau).

4. Подготовка к лабораторной работе:

При домашней подготовке необходимо выполнить следующую работу.

4.1 Изучить раздел теории случайных процессов, посвященный корреляционному анализу совокупности двух случайных функций по конспекту лекций, литературе [1-3] и настоящим указаниям.

4.2 Рассчитать и построить функции взаимной корреляции случайных процессов X ₂(t) и X ₃(t) и их производных в зависимости от для процесса X ₂(t) и его производной (в выражении для функции взаимной корреляции множитель перед ней не учитывать), и при α =0, 2 для процесса X ₃(t) и его производной (множитель ω ₀ перед не учитывать).

4.3 Составить функциональную схему измерений с указанием используемых приборов. Разработать методику измерений – последовательность выполнения лабораторной работы, выбор значений задержки для каждого из процессов. Заготовить таблицы измерений.

4.4 Подготовить ответы на контрольные вопросы, сформулированные в п.7.

5 Лабораторное задание:

5.1 Составить из блоков пользовательской библиотеки структурную схему модели измерительной установки согласно рисунку 4. Величину задержки в блоке XY-Correlometer задать равной 0 с. С помощью управляемого переключателя Manual Switch подключить генератор белого гауссового шума. Входы коррелометра подсоединить к выходному процессу и его производной (на выходе 2 RC -цепи). К выходу коррелометра подключить цифровой вольтметр.

5.2 Временной интервал моделирования задать равным: Start time = 1e-2 c, Stop time = 500 c, максимальный шаг интегрирования задать равным 1е-2 с. Провести измерения, необходимые для построения функции взаимной корреляции , последовательно увеличивая величину задержки в коррелометре от 0 с до 5 с. При малых задержках (до 1 с) приращение выбирать равным 0.05 с, при больших задержках (свыше 2 с) увеличивать его до 0.5 с. Построить функцию на миллиметровой или клетчатой бумаге.

5.3 Провести аналогичные измерения и построить функции взаимной корреляции процесса в RLC -цепи (коэффициент передачи по умолчанию ). Построить функцию на миллиметровой бумаге.

5.4 С помощью блока GraphicsShow запустить М-функцию обработки результатов LabRabRCS5Obr и провести анализ всех шести графиков зависимостей авто- и взаимных корреляционных функций (случай подключения генератора гауссового белого шума). Для этого на всех координатных осях указать теоретические и соответствующие экспериментальные зависимости и сопоставить последние с графиками взаимных корреляционных функций, построенных с использованием коррелометра и цифрового дисплея. Сделать вывод об эргодичности исследуемых случайных процессов

5.5 Провести аналогичные измерения и построить функции взаимной корреляции процесса при десятикратном увеличении резистора R в RLC -цепи коэффициент передачи коэффициент передачи .

5.6 С помощью блока GraphicsShow запустить М-функцию обработки результатов LabRabRCS5Obr и провести анализ двух последних графиков зависимостей авто- и взаимных корреляционных функций (случай подключения генератора гауссового белого шума). Для этого на всех координатных осях указать теоретические и соответствующие экспериментальные зависимости и сопоставить последние с графиками взаимных корреляционных функций, построенных с использованием коррелометра и цифрового дисплея. Сделать вывод об эргодичности исследуемых случайных процессов.

5.7 Подключить ко входу цепей генератор равномерного белого шума и повторить измерения функций взаимной корреляции и согласно пунктам 5.2 и 5.3, а также провести сравнительный анализ полученных шести графиков зависимостей авто- и взаимных корреляционных функций (случай подключения генератора равномерного белого шума) с подобными графиками, полученными в пункте 5.4.

6 Требования к отчету:

Отчет должен содержать:

6.1.1 формулировку целей и задач лабораторной работы;

6.1.2 функциональную схему установки с подключенными внешними приборами;

6.1.3 структурную схему её программной модели;

6.1.4 результаты домашней подготовки (графики функций автокорреляции и взаимной корреляции процессов X ₂(t) и X ₃(t) и их производных в зависимости от нормированного времени θ);

6.1.5 таблицы и графики экспериментальных исследований, полученные с помощью М-функции LabRabRCS5Obr (рисунок 5);

6.1.6 выводы по результатам экспериментальных исследований и сравнения их с результатами расчетов.

В выводах должны обсуждаться результаты работы, а не перечисляться проведённые исследования. Необходимо сравнить расчётные и экспериментальные корреляционные характеристики, обсудить причины их несовпадения.

Рисунок 5 – Графики нормированных авто- и взаимных

корреляционных функций процессов в RLC-цепи

7 Контрольные вопросы:

7.1 Дать определение функции взаимной корреляции, перечислить ее основные свойства.

7.2 Записать выражения, связывающие взаимную спектральную плотность мощности двух случайных процессов с функцией взаимной корреляции. Указать взаимосвязь взаимных спектральных плотностей и .

7.3 Указать способы нахождения функций взаимной корреляции случайных процессов на входе и на выходе линейной цепи.

7.4 Доказать выражение, связывающее функцию взаимной корреляции производного случайного процесса с его функцией автокорреляции, без использования взаимной спектральной плотности.

7.5 Получить выражение для взаимной спектральной плотности случайного процесса и его производной.

7.6 Перечислить основные свойства функции взаимной корреляции стационарного случайного процесса и его производной.

7.7 Разработать функциональную схему аппаратурного метода исследования функции взаимной корреляции двух случайных процессов.

7.8 При каких условиях усреднение по множеству при анализе функции взаимной корреляции может быть заменено усреднением по времени?

Лабораторная работа № 6