Представление числовой информации с помощью систем счисления

В позиционной системе счисления любое число, содержащее целую и дробную части, может быть представлено в рекуррентной форме:

(8)

где K – представляемое число, h – основание системы счисления, a – разрядный коэффициент (а=0, 1, 2, …, h-1, т.е. числа принадлежащие алфавиту данной системы счисления), n – число целых разрядов числа, m – число дробных разрядов числа.

или в развернутой форме:

(9)

В десятичной системе используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; эта система имеет основанием число десять. Формула (8) в десятичной системе счисления может быть записана следующим образом:

(10)

где а = 0, 1, 2, 3, …, 9.

Пример 1. Используя формулу (10) запишите число 725₁₀ в развернутом виде.

Решение.

Число 725 десятичной системы счисления в соответствии с формулой (10) запишем в развернутом виде.

725 = 7 × 10² + 2 × 10¹ + 5 × 10⁰.

В ЭВМ применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. В аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в двух состояниях; одно из них обозначается 0, а другое 1. Поэтому основной системой счисления, применяемой в ЭВМ, является двоичная система.

В двоичной системе счисления основанием является число два и используется две цифры: 0 и_1.

Пример 2. Используя формулу (8) запишите число 1100111011₂ в развернутом виде.

Решение.

Число 1100111011₂ двоичной системы счисления в соответствии с формулой (8) запишем в развернутом виде.

1100111011₂ = 1 × 2⁹ + 1 × 2⁸ + 0 × 2⁷ + 0 × 2⁶ + 1 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰.

Основанием восьмеричной системы счисления является число восемь и используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Пример 3. Используя формулу (8) запишите число 1427₈ в развернутом виде.

Решение.

В соответствии с формулой (8) число 1427₈ восьмеричной системы счисления примет вид:

1427₈ = 1 × 8³ + 4 × 8² + 2 × 8¹ + 7 × 8⁰.

Восьмеричная система счисления употребляется в ЭВМ, как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (Табл. 4).

Шестнадцатеричная система счисления. В основании ‑ число шестнадцать, для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр латинскими буквами: 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F.

Пример 4. Используя формулу (8) запишите число 33В₁₆ в развернутом виде.

Решение.

Число 33В₁₆ шестнадцатеричной системы счисления, в соответствии с формулой (8), примет вид:

33В₁₆ = 3 × 16² + 3 × 16¹ + В × 16⁰ (В = 11).

Шестнадцатеричная система используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада) (Табл. 4).

Таблица 3

Соответствие между числами в различных системах счисления

Пожалуй, проще всего осуществляется перевод чисел из двоичной системы в системы с основанием, равным степеням двойки (8 и 16), и наоборот. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием 2ⁿ, нужно

· данное двоичное число разбить справа налево на группы по n-цифр в каждой;

· если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее нулями до нужного числа разрядов;

· рассмотреть каждую группу, как n-разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2ⁿ.

Пример 5. Переведите число 1011000010, 0011001₂ в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, используя таблицу 4.

Решение.

Для этого разобьем исходное число на группы по 3 цифры, начиная от десятичной запятой, и заменим триады восьмеричными цифрами:

Разобьем число на группы по 4 цифры, начиная от десятичной запятой, и заменим тетрады шестнадцатеричными цифрами:

Ответ: 1011000010, 0011001₂=1302, 144₈=2C2, 32₁₆