Решение. а) На рисунке 5 представлена область, ограниченная контуром интегрирования

а) На рисунке 5 представлена область, ограниченная контуром интегрирования. Подынтегральную функцию запишем в виде

.

Рисунок 5 – Область, ограниченная контуром интегрирования

В круге функция аналитическая, точка лежит в центре этого круга. Для вычисления данного интеграла воспользуемся интегральной формулой Коши: , где – точка внутри линии L, направление

обхода которой положительное. Получим:

.

б) Если функция является аналитической в замкнутой области , ограниченная контуром L, за исключением конечного числа особых точек , лежащих внутри области , то

. (9)

Вычислим с помощью вычетов интеграл . Если положить , тогда , . При изменении от 0 до точка опишет в положительном направлении окружность . Тогда:

.

Найдем особые точки подынтегральной функции: , . Эти точки являются полюсами второго порядка для подынтегральной функции. Только полюс находится внутри окружности . Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (9). Найдем вычет подынтегральной функции в точке :

.

Тогда, по формуле (9) получим:

.

в) Если – дробно-рациональная функция, аналитическая на действительной оси и в верхней полуплоскости, за исключением конечного числа особых точек , лежащих в верхней полуплоскости и при , то

. (10)

Чтобы вычислить интеграл введем функцию , которая на действительной оси, т.е. при , совпадает с подынтегральной функцией . Введенная функция – дробно-рациональная, знаменатель которой не имеет действительных корней. Так как выполняется условие при , то заданный интеграл может быть вычислен по формуле (10).

Функция имеет полюсы второго порядка и . Нас интересует только тот полюс, мнимая часть которого положительна, то есть . Найдем вычет функции в точке :

.

Таким образом, .

ВАРИАНТЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

ЗАДАНИЕ 1. Определить и построить на комплексной плоскости Z линии, заданные уравнениями:

1.1. а) , б) . 1.2. а) , б) . 1.3. а) , б) . 1.4. а) , б) . 1.5. а) , б) . 1.6. а) , б) . 1.7. а) , б) . 1.8. а) , б) . 1.9. а) , б) . 1.10. а) , б) . 1.11. а) , б) . 1.12. а) , б) .

1.13. а) , б) . 1.14. а) , б) . 1.15. а) , б) . 1.16. а) , б) . 1.17. а) , б) . 1.18. а) , б) . 1.19. а) , б) . 1.20. а) , б) . 1.21. а) , б) . 1.22. а) , б) . 1.23. а) , б) . 1.24. а) , б) . 1.25. а) , б) .

ЗАДАНИЕ 2. Изобразить на комплексной плоскости Z области, определяемые следующими неравенствами или системами неравенств:

2.1. а) , б) . 2.2. а) , б) . 2.3. а) , б) . 2.4. а) , б) . 2.5. а) , б) . 2.6. а) , б) . 2.7. а) , б) . 2.8. а) , б) . 2.9. а) , б) . 2.10. а) , б) . 2.11. а) , б) . 2.12. а) , б) . 2.13. а) , б) . 2.14. а) , б) . 2.15. а) , б) . 2.16. а) , б) . 2.17. а) , б) . 2.18. а) , б) . 2.19. а) , б) . 2.20. а) , б) . 2.21. а) , б) . 2.22. а) , б) . 2.23. а) , б) . 2.24. а) , б) . 2.25. а) , б) .

ЗАДАНИЕ 3. Исследовать на дифференцируемость и аналитичность функцию , найти ее производную, если она существует:

3.1. . 3.2. . 3.3. . 3.4. . 3.5. 3.6. . 3.7. . 3.8. 3.9. . 3.10. 3.11. 3.12. 3.13.

3.14. . 3.15. . 3.16. 3.17. 3.18. . 3.19. 3.20. 3.21. 3.22. 3.23. 3.24. 3.25.

ЗАДАНИЕ4. Восстановитьаналитическую функцию по заданной действительной или мнимой части:

4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. . 4.5. . 4.6. . 4.13. . 4.14. . 4.15. . 4.16. . 4.17. . 4.18. . 4.19. .

4.7. . 4.8. . 4.9. . 4.10. . 4.11. . 4.12. . 4.20. . 4.21. . 4.22. . 4.23. . 4.24. . 4.25. .

ЗАДАНИЕ 5. Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки , указать правильную и главную часть ряда Лорана:

5.1. .

5.2. .

5.3. .

5.4. .

5.5. .

5.6. .

5.7. .

5.8. .

5.9. .

5.10. .

5.11. .

5.12. .

5.13. .

5.14. .

5.16. .

5.17. .

5.18. .

5.19. .

5.20. .

5.21. .

5.22. .

5.23. .

5.24. .

5.25. .

ЗАДАНИЕ 6. Найти все изолированные особые точки функции и указать их тип (характер):

6.1. а) б) .

6.2. а) б) .

6.3. а) б) .

6.4. а) б) .

6.5. а) б) .

6.6. а) , б) .

6.7. а) б) .

6.8. а) , б) .

6.9. а) б) .

6.10. а) б) .

6.11. а) б) .

6.12. а) б) .

6.13. а) б) .

6.14. а) , б) .

6.15. а) , б) .

6.16. а) , б) .

6.17. а) , б) .

6.18. а) б) .

6.19. а) б) .

6.20. а) б) .

6.21. а) , б) .

6.22. а) , б) .

6.23. а) б) .

6.24. а) б) .

6.25. а) , б) .

ЗАДАНИЕ 7. Найти вычеты функции в ее особых точках:

7.1. . 7.2. . 7.3. . 7.4. . 7.5. . 7.6. . 7.7. . 7.8. . 7.9. . 7.10. . 7.11. . 7.12. .

7.13. . 7.14. . 7.15. . 7.16. . 7.17. . 7.18. . 7.19. . 7.20. . 7.21. . 7.22. . 7.23. . 7.24. . 7.25. .

ЗАДАНИЕ 8. Вычислить интегралы:

8.1. а) , б) , в) .

8.2. а) , б) , в) .

8.3. а) , б) , в) .

8.4. а) , б) , в) .

8.5. а) , б) , в) .

8.6. а) , б) , в) .

8.7. а) , б) , в) .

8.8. а) , б) , в) .

8.9. а) , б) , в) .

8.10. а) , б) , в) .

8.11. а) , б) , в) .

8.12. а) , б) , в) .

8.13. а) , б) , в) .

8.14. а) , б) , в) .

8.15. а) , б) , в) .

8.16. а) , б) , в) .

8.17. а) , б) , в) .

8.18. а) , б) , в) .

8.19. а) , б) , в) .

8.20. а) , б) , в) .

8.21. а) , б) , в) .

8.22. а) , б) , в) .

8.23. а) , б) , в) .

8.24. а) , б) , в) .

8.25. а) , б) , в) .