Теория функций комплексного переменного

Методические указания и варианты контрольных

заданий по теме модуля в дисциплине «Высшая

математика» для студентов технических

специальностей дневной формы обучения

Севастополь

УДК 519.442

Теория функций комплексного переменного. Методические указания и варианты контрольных заданий по теме модуля в дисциплине «Высшая математика» для студентов технических специальностей дневной формы обучения / Сост. Е.Г. Бойко, Ю.Е. Обжерин. – Севастополь: Изд-во СевГУ, 2015. – 32 с.

Целью настоящих методических указания является помощь студентам при изучении модуля по теме «Теория функций комплексного переменного» дисциплин «Высшая математика» и «Математический анализ». При работе над этой темой рекомендуется использовать литературу, приведенную в конце методических указаний.

Данные методические указания содержат пример решения нулевого варианта, содержащего задания аналогичные индивидуальным заданиям для самостоятельного решения с краткими теоретическими сведениями, а также варианты индивидуальных заданий для самостоятельного решения, которые можно использовать по теме «Теория функций комплексного переменного» для проведения модульного контроля.

Методические указания предназначены для студентов дневной формы обучения инженерных специальностей.

Методические указания утверждены на заседании кафедры высшей математики, протокол № 1 от 27.01. 2014 г.

Допущено учебно-методическим центром и научно-методическим советом СевНТУ в качестве методических указаний.

Рецензент – Ледяев С.Ф., канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики.

СОДЕРЖАНИЕ

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ВАРИАНТА ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

ЗАДАНИЕ 1. Определить и построить на комплексной плоскости Z линии, заданные уравнениями: а) , б)

Решение. а) Чтобы определить, какая же линия задана уравнением , воспользуемся определением модуля комплексного числа. С учетом, что , получим:

,

тогда,

или .

Полученное уравнение определяет окружность с центром в точке радиуса 2 (рис. 1).

б) Преобразуем заданное уравнение. Так как , получим:

,

следовательно,

.

Преобразуем полученное выражение:

.

Таким образом, уравнение является уравнением окружности радиуса с центром в точке (рис. 2).

Рисунок 1 – Линия, заданная уравнением

Рисунок 2 – Линия, заданная уравнением

ЗАДАНИЕ 2. Изобразить на комплексной плоскости Z множества точек, определяемые следующими неравенствами или системами неравенств:

а) , б) .

Решение. а) Искомое множество точек должно одновременно удовлетворять двум условиям: и . Пользуясь определение модуля комплексного числа и учитывая, что , преобразуем выражение :

.

Следовательно, неравенство определяет внешность единичного круга с центром в точке , а неравенство – круг радиуса 2 с центром в той же точке , не включая саму окружность. Поэтому данное множество точек представляет собой кольцо, ограниченное концентрическими окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точке (рис. 3).

б) Так как неравенство равносильно неравенству , то ему удовлетворяют все точки z, лежащие внутри угла, равного , с вершиной в начале координат и биссектрисой, образующей с положительным направлением действительной оси угол (рис. 4).

Рисунок 3 – Множество точек, определяемых системой неравенств

Рисунок 4 – Множество точек, определяемых неравенством

ЗАДАНИЕ 3. Исследовать на дифференцируемость и аналитичность функцию , найти ее производную, если она существует: а) б) .

Решение. Пусть однозначная функция определена в некоторой точке и ее окрестности. Если существует предел

,

то он называется производной функции точке и обозначается , а функция называется дифференцируемой в .

Для того, чтобы функция , определенная в некоторой окрестности точки , была дифференцируема в точке (в этой точке действительные функции , дифференцируемы), необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись условия Коши-Римана:

, . (1)

С учетом условий Коши-Римана (1) производную функции можно находить по формулам:

(2)

Однозначная функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема не только в данной точке , но и некоторой ее окрестности. Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторой области , называется аналитической в этой области.

Если для функции в области функции , непрерывны, то выполнения условий (1) достаточно, чтобы функция была аналитической в этой области.

а) Определим действительную и мнимую части функции .Так как , то

.

Следовательно,

, .

Найдем частные производные функций и :

, ,

, .

Сравнивая значения и , и , видим, что условия Коши-Римана выполняются при всех значениях и , поэтому функция является дифференцируемой и аналитической на всей комплексной плоскости Z. Производную функции найдем по одной из формул (2):

.

б) Найдем действительную и мнимую части функции . С учетом, что , получим:

, .

Найдем частные производные функций и :

, , , .

Проверим выполнение условий Коши-Римана (1), для чего сравним значения и , и :

следовательно, функция дифференцируема только в точке и нигде не является аналитической, так как не существует окрестности точки , в которой функция была бы дифференцируемой.

Производную заданной функции в точке найдем по одной из формул (2):

.

ЗАДАНИЕ 4. Восстановитьаналитическую функцию по заданной действительной или мнимой части, если это возможно: а) , б) .

Решение. Если функция аналитична в некоторой области , то функции , являются гармоническими функциями, так как каждая из них удовлетворяют уравнению Лапласа .

Если для функции , аналитической в некоторой области , известна одна из гармонических функции или , то функцию можно восстановить с точностью до постоянного слагаемого. Если известна гармоническая функция , то

, (3)

Если известна гармоническая функция , то

, (4)

где – произвольная точка. Следовательно, искомая аналитическая функции . Если заменить и по формулам:

, (5)

то получим функцию переменной .

а) Функцию можно восстановить только в том случае, если заданная функция является гармонической на всей плоскости. Проверим это:

,

,

, .

Так как , то заданная функция не является гармонической. Таким образом, невозможно восстановить аналитическую функцию .

б) Проверим, является ли гармонической функция :

, , , .

Так как , то заданная функция является гармонической. Функцию найдем по формуле (3), в которой положим :

.

Следовательно, искомая функция будет иметь вид:

.

Заменим и по формулам (5), чтобы получить функцию переменной :

.

Таким образом, .

ЗАДАНИЕ 5. Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки , указать правильную и главную часть ряда Лорана: , .

Решение. Всякая функция , аналитическая внутри кольца с центром в точке , разлагается внутри этого кольца в ряд Лорана, который состоит из двух частей:

.

Первая часть ряда Лорана , называется правильной частью ряда Лорана.

Вторая часть ряда Лорана , называется главной частью ряда Лорана.

Для решения данного задания воспользуемся известным разложением

,

которое справедливо на всей комплексной плоскости. Положим , тогда:

, .

Умножим каждое слагаемое полученного ряда на . Тогда разложение в ряд Лорана функции , в окрестности точки примет вид:

, .

Следовательно, правильная часть ряда Лорана содержит четыре слагаемых:

,

а главная часть ряда Лорана имеет бесконечное число слагаемых:

, .

ЗАДАНИЕ 6. Найти все изолированные особые точки функции и указать их тип (характер): а) , б) .

Решение. Точка , в которой функция не является аналитической, а в ее окрестности аналитическая, называется изолированной особой точкой функции . Такая точка называется устранимой, если существует предел , а ряд Лорана функции не содержит главной части. Изолированная особая точка функции называется полюсом, если , разложение в ряд Лорана функции содержит в своей главной части конечное число членов. Если – существенно особая точка, то не существует, а разложение в ряд Лорана функции содержит в своей главной части бесконечное число членов.

а) Определим нули знаменателя функции .

, ,

причем, числитель в этих точках отличен от нуля. Следовательно, точки – изолированные особые точки функции . Так как является нулем знаменателя кратности три, то, по теореме о связи между нулем и полюсом функции [], для заданной функции является полюсом третьего порядка. Аналогично , – полюсы второго порядка.

б) Определим нули функции . Они совпадают с нулями функции , то есть с числами . Кратность нулей определим из условия: если но , то является нулем кратности функции . При это нули первого порядка, так как

,

следовательно, в этих точках функция имеет простые полюсы. В точке в нуль обращаются числитель и знаменатель дроби , однако существует предел , поэтому точка – устранимая особая точка функции .

ЗАДАНИЕ 7. Найти вычеты функции в ее особых точках:

а) , б) , в) .

Решение. Вычетом аналитической функции в изолированной особой точке называется комплексное число, равное значению интеграла , взятого в положительном направлении по окружности L с центром в точке , лежащей в кольце . Вычет функции в изолированной особой точке обозначается и равен коэффициенту при первом члене с отрицательным показателем в разложении функции в ряд Лорана, то есть . Таким образом, в устранимой особой точке вычет функции всегда равен нулю.

Если изолированная особая точка для функции является полюсом порядка , то

. (6)

Для полюсов первого порядка формула (6) принимает вид:

. (7)

а) Особыми точками функции являются простой

полюс и полюс второго порядка . Для точки найдем вычет по формуле (7):

.

Вычет в точке найдем по формуле (6) при :

.

б) Особыми точками функции являются точки . Точка для заданной функции – устранимая особая точка, так как . Следовательно, . Точки для функции являются простыми полюсами, так как числитель функции в них не равен нулю, а .

Если в окрестности точки функция определена как частное двух аналитических в этой точке функций: , причем , а имеет в точке нуль первого порядка, то вычет можно вычислить по формуле:

. (8)

Воспользуемся формулой (8):

, .

в) Функция имеет особую точку . Разложим заданную функцию в окрестности точки в ряд Лорана, воспользовавшись известным разложением функции , положив , тогда:

.

Очевидно, что точка – существенно особая точка, тогда

.

ЗАДАНИЕ 8. Вычислить интегралы:

а) , б) , в) .