Задача 39

1) На три базы поступил однородный груз в ко­личествах, соответственно равных 140, 180 и 160 ед. Этот груз требуется перевезти в пять пунктов назначения соответственно в количествах 60, 70, 120, 130 и 100 ед. Тарифы перевозок единицы груза с каждого из пунктов отправления в со­ответствующие пункты назначения указаны в следующей таблице:

Таблица 2.1

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
Потребности

Найти план перевозок данной транспортной задачи методом северо-западного угла.

Решение. При нахождении опорного плана транспортной задачи методом северо-западного угла на каждом шаге рассматривают первый из оставшихся пунктов отправления и первый из оставшихся пунктов назначе­ния. Заполнение клеток таблицы условий начинается с левой верхней клетки для неизвестного («северо-западный угол») и заканчивается клеткой для неизвестного , т. е. идет как бы по диагонали таблицы.

Здесь число пунктов отправления , а число пунктов назначения Следовательно, опорный план задачи определяется числами, стоящими в заполненных клетках.

Заполнение таблицы начнем с клетки для неизвестного , т. е. попытаемся удовлетворить потребности первого пункта назначе­ния за счет запасов первого пункта отправления. Так как запасы пункта больше, чем потребности пункта , то полагаем , записываем это значение в соответствующей клетке табл.1и временно исключаем из рассмотрения столбец , считая при этом запасы пункта равными 80.

Таблица 2.2

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
Потребности

Рассмотрим первые из оставшихся пунктов отправления и назначения . Запасы пункта больше потребностей пункта . Положим , запишем это значение в соответствующей клетке табл. 2.2 и временно исключим из рассмотрения стол­бец . В пункте запасы считаем равными 10 ед. Снова рассмо­трим первые из оставшихся пунктов отправления и назначе­ния Потребности пункта больше оставшихся запасов пункта . Положим и исключим из рассмотрения стро­ку .Значение запишем в соответствующую клетку табл. 2.2 и считаем потребности пункта равными 110 ед.

Теперь перейдем к заполнению клетки для неизвестного и т. д. Через шесть шагов остается один пункт отправления с запасом груза 100 ед. и один пункт назначения с потреб­ностью 100 ед. Соответственно имеется одна свободная клетка, которую и заполняем, полагая (табл. 2.2). В резуль­тате получаем опорный план

Согласно данному плану перевозок, общая стоимость перево­зок всего груза составляет

2) Четыре предприятия для производства продукции используют три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120, 50, 190, 110 ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140, 170 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей

Найти опорный план транспортной задачи методом минимального элемента.

Решение. В методе се­веро-западного угла на каждом шаге потребности первого из оставшихся пунктов назначения удовлетворялись за счет запа­сов первого из оставшихся пунктов отправления. Очевидно, выбор пунктов назначения и отправления целесообразно произ­водить, ориентируясь на тарифы перевозок, а именно: на каждом шаге следует выбирать какую-нибудь клетку, отвечающую мини­мальному тарифу (если таких клеток несколько, то следует вы­брать любую из них), и рассмотреть пункты назначения и отправ­ления, соответствующие выбранной клетке. Сущность метода минимального элемента и состоит в выборе клетки с минималь­ным тарифом. Следует отметить, что этот метод, как правило, позволяет найти опорный план транспортной задачи, при котором общая стоимость перевозок груза меньше, чем общая стоимость перевозок при плане, найденном для данной задачи с помощью метода северо-западного угла. Поэтому наиболее целесообразно опорный план транспортной задачи находить методом минималь­ного элемента.

Исходные данные задачи запишем в виде табл. 3.1.

Таблица 3.1

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
Потребности

Минимальный тариф, равный 1, находится в клетке для переменной . Положим запишем это значение в соот­ветствующую клетку табл. 3.1 и исключим временно из рассмо­трения строку . Потребности пункта назначения считаем равными 30 ед.

В оставшейся части таблицы с двумя строками и и че­тырьмя столбцами клетка с наименьшим значением тарифа находится на пересечении строки и столбца , где . Положим и внесем это значение в соответ­ствующую клетку табл. 3.1.

Временно исключим из рассмотрения столбец и будем счи­тать запасы пункта равными 120 ед. После этого рассмотрим оставшуюся часть таблицы с двумя строками и тремя столбцами . В ней минимальный тариф находится в клетке на пересечении строки и столбца и равен 3. Заполним описанным выше способом эту клетку и аналогично запол­ним (в определенной последовательности) клетки, находящиеся на пересечении строки и столбца , строки и столбца , строки и столбца . В результате получим опорный план

При данном плане перевозок общая стоимость перевозок со­ставляет

3)Имеются три пункта поставки однородного груза и четыре пункта потребления этого груза. На пунктах находится груз соответственно в количестве 50, 30 и 10 т. В пункты требуется доставить соответственно 30, 30, 10, 20 т груза. Расстояние между пунктами потребления задано следующей матрицей:

Найти оптимальный план транспортной задачи.

Решение. Сначала, используя метод северо-западного угла, находим опорный план задачи. Этот план записан в табл. 4.1

Таблица 4.1

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
Потребности

Найденный опорный план проверяем на оптимальность. В свя­зи с этим находим потенциалы пунктов отправления и назначения. Для определения потенциалов получаем систему

содержащую шесть уравнений с семью неизвестными. Полагая находим Для каждой свободной клетки вычисляем число :

Заключаем найденные числа в рамки и записываем их в каж­дую из свободных клеток табл. 4.2.

Так как среди чисел имеются положительные, то по­строенный план перевозок не является оптимальным и надо пе­рейти к новому опорному плану. Наибольшим среди положитель­ных чисел являются поэтому для данной свободной клетки строим цикл пересчета (табл. 4.2) и производим сдвиг по этому циклу.

Таблица 4.2

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
				–				+
					-4		3
				+				–
	0
	-2		0		-4
Потребности

Наименьшее из чисел в минусовых клетках рав­но 10. Клетка, в которой находится это число, становится свобод­ной в новой табл. 4.3. Другие числа в табл. 4.3 получаются так: к числу 10, стоящему в плюсовой клетке табл. 4.2, добавим 10 и вычтем 10 из числа 20, находящегося в минусовой клетке табл. 4.2. Клетка на пересечении строки и столбца стано­вится свободной.

После этих преобразований получаем новый опорный план (табл. 4.3).

Таблица 4.3

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
				–				+
					-2
	0						-3

Окончание табл. 4.3

				+				–
	+1		+3		-1
Потребности

Этот план проверяем на оптимальность. Снова находим по­тенциалы пунктов отправления и назначения. Для этого состав­ляем следующую систему уравнений:

Полагаем получаем Для каждой свободной клетки вычисляем число ; имеем,

Таким образом, видим, что данный план перевозок не являет­ся оптимальным. Поэтому переходим к новому опорному плану (табл. 4.4).

Таблица 4.4

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
					-4
	0						-3
	-2				-4		-3
Потребности

Сравнивая разности новых потенциалов, отвечающих свободным клеткам табл. 4.4, с соответствующими числами , видим, что указанные разности потенциалов для всех свобод­ных клеток не превосходят соответствующих чисел . Следова­тельно, полученный план

является оптимальным. При данном плане стоимость перевозок

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. – 6-е изд. – М., 1985.

2. Венцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Венцель. – М.: Высш. шк.; 1999.

3. Бугров Я.С. Высшая математика: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – Ростов н/Д.: Феникс, 1997.

4. Бугров Я.С. Высшая математика: Дифференциальное и интегральное исчисления / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – Ростов н/Д.: Феникс, 1997.

5. Кузнецов А.В. Высшая математика: Математическое программирование / А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод. – Минск: Высшая школа, 1994.

6. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Мат. программирование: Учеб. пособие / А.В.Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И.Холод и др.; Под общей ред. А.В. Кузнецова, Р.А. Рутковского. – Мн. Высш. шк. 2002.

7. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман, Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2003.

8. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 543 с.

9. Шипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов / В.С. Шипачев. – М.: Высш. шк., 2003.

10. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2001. – 479 с.

11. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учеб. пособие для студентов вузов / В.Е. Гмурман. – М.: Высш.шк., 2001. – 400 с.

12. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. – В 2 ч. Ч. 1, 2. Учеб. пособие для втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2003.

13. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов / И.Л. Акулич. – М.: Высш. шк., 1986.

14. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М., 2001.

15. Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике: Учеб. пособие / Л.Э. Хазанова. – М.: БЕК, 2002.

16. Пинегина М.В. Математические методы и модели в экономике / М.В. Пинегина. – М.: Экзамен, 2002.

17. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – 6-12-е изд. / Н.В. Ефимов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

18. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл Пресс, 2002.

19. Пантелеев А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Учеб. пособие / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, А.В. Босов. – М.: Высш. шк., 2001.

20. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 4-е изд. / Д.В. Беклемишев. – М.: Физико-математическая литература, 2002.

21. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В. Гнеденко. – М.: Наука, 2002.

22. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика / В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский. – М.: Высш. шк., 1991.

23. Бугров Я.С. Высшая математика: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – Ростов н/Д.: Феникс, 1997.

24. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. Н.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986.

25. Сборник задач по математике для втузов: Специальные разделы математического анализа / Под ред. Ефимова Н.В., Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986.

26. Пантелеев А.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах: Учеб. пособие / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова. – М.: Высш.шк., 2001.

27. Ильин В.А. Высшая математика: Учебник / В.А. Ильин, А.В. Куркина. – М.: ТК Велби, 2002.

28. Кузнецов Ю.Н. Математическое программирование / Ю.Н. Кузнецов, В.И. Кузубов. – М.: Высш. шк., 1980.

29. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие / С.А. Минюк, Е.А. Ровба, К.К. Кузьмич. – Мн.: Тетра Системс, 2002.

30. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / В.А. Колемаева, Калинина В.Н.; Под ред. В.А. Колемаева. – М.: ИНФРА-М., 1997.

31. Гусак А.А. Высшая математика. – В 2 т. – Т. 1.: Учеб. пособие для студентов вузов / А.А. Гусак. – Мн.: Тетра Системс, 1998. – 544 с.; Т. 2.: Учеб. пособие для студентов вузов. – Мн.: Театра Системс, 1998. –288 с.

32. Гусак А.А. Справочное пособие по решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра / А.А. Гусак. – Мн.: Тетра системс, 1998. – 288 с.

33. Гусак А.А. Справочное пособие по решению задач: математический анализ и дифференциальные уравнения / А.А. Гусак. – Мн.: Тетра системс, 1998. – 416 с.

34. Гусак А.А. Справочное пособие по решению задач: Теория вероятностей / А.А. Гусак, Е.А. Бришикова. – Мн.: Тетра системс, 1999. – 288 с.

35. Математическое программирование: Программа, методические указания и контрольные задания для студентов заочников инженерно-экономических и экономических специальностей высших учебных заведений / В.Г. Суздаль, Л.Г. Седых, Ю.В. Боровских. – М.: Высш. шк., 1983. – 48 с.

36. Высшая математика: Программа, методические указания и контрольные задания для студентов заочников экономических специальностей высших учебных заведений / Д.П. Полозков. – М.: Высш. шк., 1976. – 55 с.

37. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания и контрольные задания для студентов специальностей 0608 Бухгалтерский учет, контроль и анализ хозяйственной деятельности и 0717 Экономика, управление в бытовом и жилищно-коммунальном обслуживании, городском хозяйстве. – В 2 ч. / Сост.: В.С. Котанов. – М.: Московский технол. ин-т.

38. Шапкин А.С. Ч. 1. Случайные события и случайные величины М., 1989. – 51 с.; Ч. 2. Математическая статистика. – 41 с.

39. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001.

40. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник / М.С. Красс. – М.: Дело, 2002.

41. Красс М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: Дело, 2001.

42. Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. – М.: Высш. шк., 2002.

43. Романенко В.К. Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / В.К. Романенко, Н.Х. Агаханов, В.В. Власов, Л.И. Коваленко. – М.: ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002.

Составители: САФИН Рашит Рафаилович

ЛАРИЧЕВА Галина Александровна

БОГДАНОВА Маргарита Анатольевна

«МАТЕМАТИКА»

Учебно-методический комплекс

Часть 3

Методические указания

к выполнению контрольных работ

для студентов всех специальностей и направлений

заочной формы обучения

Технический редактор: С.А. Юдина

Подписано в печать 05.02.12. Формат 60× 84 1/16.

Бумага писчая. Гарнитура «Таймс».

Усл. печ. л. 4, 59. Уч.-изд. л. 5. Тираж 150 экз.

Цена свободная. Заказ № 42.

Отпечатано с готовых авторских оригиналов

на ризографе в издательском отделе

Уфимской государственной академии экономики и сервиса

450078, г. Уфа, ул. Чернышевского, 145; тел. (347) 241-69-85.