Задача 17 4 страница

Как видно из табл. 1.1, значения всех основных переменных равны нулю, а дополнительные переменные принимают свои значения в соответствии с ограничениями задачи. Эти значения переменных отвечают такому «плану», при котором ничего не производится, сырье не используется и значение це­левой функции равно нулю (т. е. стоимость произведенной про­дукции отсутствует). Этот план, конечно, не является оптималь­ным.

Это видно и из 4-й строки табл. 1.1, так как в ней имеется три отрицательных числа: . Отрицательные числа не только свидетельствуют о воз­можности увеличения общей стоимости производимой продук­ции, но и показывают, на сколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или другого вида продукции. Так, число -9 означает, что при включении в план произ­водства одного изделия А обеспечивается увеличение выпуска продукции на 9 руб. Если включить в план производства по од­ному изделию В и С, то общая стоимость изготовляемой про­дукции возрастет соответственно на 10 и 16 руб. Поэтому с экономической точки зрения наиболее целесообразным является включение в план производства изделий С. Это же необходимо сделать и на основании формального признака симплексного метода, поскольку максимальное по абсолютной величине отри­цательное число стоит в 4-й строке столбца вектора Р₃. Сле­довательно, в базис введем вектор . Определяем вектор, под­лежащий исключению из базиса. Для этого находим для т.е.

Найдя число 192/8 = 24, мы тем самым с экономической точки зрения определили, какое количество изделий С пред­приятие может изготовлять с учетом норм расхода и имеющих­ся объемов сырья каждого вида. Так как сырья данного вида соответственно имеется 360, 192 и 180 кг, а на одно изделие С требуется затратить сырья каждого вида соответственно 12, 8 и 3 кг, то максимальное число изделий С, которое может быть изготовлено предприятием, равно , т.е. ограничивающим фактором для производства изделий С является имеющийся объем сырья II вида. С учетом его наличия предприятие может изготовить 24 изделия С. При этом сырье II вида будет полностью использовано.

Следовательно, вектор подлежит исключению из базиса. Столбец вектора и 2-я строка являются направляющими. Элемент, стоящий на пересечении столбца и 2-й строки, называется разрешающим элементом. Составляем таблицу для II итерации (табл. 1.2).

Таблица 1.2

	Базис
					-2

Сначала заполняем строку вектора, вновь введенного в ба­зис, т.е. строку, номер которой совпадает с номером направ­ляющей строки. Здесь направляющей является 2-я строка. Эле­менты этой строки табл. 1.2 получаются из соответствующих элементов табл. 1.1 делением их на разрешающий элемент (т.е. на 8). При этом в столбце записываем коэффициент , стоящий в столбце вводимого в базис вектора . Затем запол­няем элементы столбцов для векторов, входящих в новый базис. В этих столбцах на пересечении строк и столбцов одноимен­ных векторов проставляем единицы, а все остальные элементы полагаем равными нулю.

Для определения остальных элементов табл. 1.2 применяем правило прямоугольника:

a c

b

d – разрешающий элемент,

b, c – элементы, стоящие на диагонали прямоугольника.

Вычислим элементы табл. 1.2, стоящие в столбце вектора Первый из них находится в 1-й строке этого столбца. Получаем:

; записываем его в 1-й строке столбца вектора табл. 1.2.

Второй элемент столбца вектора табл. 1.2 был уже вычис­лен ранее. Вычисляем третий элемент столбца вектора : . Число 108 записываем в 3-й строке столбца вектора табл. 1.2.

Значение в 4-й строке столбца этого же вектора можно найти двумя способами:

1) по формуле , т.е.

2) по правилу прямоугольника; в данном случае прямоугольник образован числами 0, 192, 8, -16. Этот способ приводит к тому же результату: .

Аналогично пересчитываем оставшиеся элементы табл. 1 и записываем их в новую табл. 2.

По окончании расчета всех элементов табл. 1.2 в ней полу­чены новый опорный план и коэффициенты разложения векторов через базисные векторы и значения .Как видно из этой таблицы, новым опорным планом задачи является план . При данном плане производства изготовляется 24 изделия С и остается неисполь­зованным 72 кг сырья I вида и 108 кг сырья III вида. Стоимость всей производимой при этом плане продукции равна 384 руб. Указанные числа записаны в столбце вектора табл. 1.2. Как видно, данные этого столбца по-прежнему представляют собой параметры рассматриваемой задачи, хотя они претерпели зна­чительные изменения. Изменились данные и других столбцов, а их экономическое содержание стало более сложным. Так, на­пример, возьмем данные столбца вектора Число во 2-й строке этого столбца показывает, на сколько следует уменьшить изготовление изделий С, если запланировать выпуск одного изделия В. Числа 9 и в 1-й и 3-й строках вектора пока­зывают соответственно, сколько потребуется сырья I и II вида при включении в план производства одного изделия B, а число -2 в 4-й строке показывает, что если будет запланирован вы­пуск одного изделия В, то это обеспечит увеличение выпуска продукции в стоимостном выражении на 2 руб. Иными слова­ми, если включить в план производства продукции одно изде­лие В, то это потребует уменьшения выпуска изделия С на ед. и потребует дополнительных затрат 9 кг сырья I вида и кг сырья III вида, а общая стоимость изготовляемой продукции в соответствии с новым оптимальным планом возрастет на 2 руб. Таким образом, числа 9 и выступают как бы новыми «норма­ми» затрат сырья I и III вида на изготовление одного изделия В (как видно из табл. 1.1, ранее они были равны 15 и 3), что объясняется уменьшением выпуска изделий С.

Такой же экономический смысл имеют и данные столбца век­тора табл. 1.2. Несколько иное экономическое содержание имеют числа, записанные в столбце вектора . Число во 2-й строке этого столбца, показывает, что увеличение объемов сырья II вида на 1 кг позволило бы увеличить выпуск изделий С на ед. Одновременно потребовалось бы дополнительно кг сырья I вида и кг сырья III вида. Увеличение выпуска изделий С на ед. приведет к росту выпуска продукции на 2 руб.

Из изложенного выше экономического содержания данных табл. 1.2 следует, что найденный на II итерации план задачи не является оптимальным. Это видно и из 4-й строки табл. 1.2, поскольку в столбце вектора этой строки стоит отрицатель­ное число -2. Значит, в базис следует ввести вектор , т. е. в новом плане следует предусмотреть выпуск изделий В. При определении возможного числа изготовления изделий В следует учитывать имеющееся количество сырья каждого вида, а именно: возможный выпуск изделий В определяется для т.е. находим .

Следовательно, исключению из базиса подлежит вектор , иными словами, выпуск изделий В ограничен имеющимся в распоряжении предприятия сырьем I вида. С учетом имеющих­ся объемов этого сырья предприятию следует изготовить 8 изде­лий В. Число 9 является разрешающим элементом, а столбец вектора и 1-я строка табл. 1.2 являются направляющими. Составляем таблицу для III итерации (табл. 1.3).

Таблица 1.3

	Базис

В табл. 1.3 сначала заполняем элементы 1-й строки, которая представляет собой строку вновь вводимого в базис вектора . Элементы этой строки получаем из элементов 1-й строки табл. 1.2 делением последних на разрешающий элемент (т.е. на 9). При этом в столбце данной строки записываем

Затем заполняем элементы столбцов векторов базиса и по правилу прямоугольника вычисляем элементы остальных столб­цов. В результате в табл. 3 получаем новый опорный план и коэффициенты разложения векторов через базисные векторы и соответствующие значения

Проверяем, является ли данный опорный план оптимальным или нет. Для этого рассмотрим 4-ю строку табл. 1.3. В этой строке среди чисел нет отрицательных. Это означает, что найден­ный опорный план является оптимальным и

Следовательно, план выпуска продукции, включающий из­готовление 8 изделий В и 20 изделий С, является оптимальным. При данном плане выпуска изделий полностью используется сырье I и II видов и остается неиспользованным 96 кг сырья III вида, а стоимость производимой продукции равна 400 руб.

Оптимальным планом производства продукции не предусмат­ривается изготовление изделий А. Введение в план выпуска про­дукции изделий вида А привело бы к уменьшению указанной общей стоимости. Это видно из 4-й строки столбца вектора , где число 5 показывает, что при данном плане включение в него выпуска единицы изделия А приводит лишь к уменьшению об­щей величины стоимости на 5 руб.

Ответ: максимальная прибыль от реализации всей продукции составляет 400 руб.