Математическое обеспечение САПР (часть 3). Статистические методы автоматизированного принятия решений с использованием программы Financial Toolbox

1. Метод решения задачи “Диверсификация портфелей”

Формирование портфеля ценных бумаг, являясь составной частью инвестиционного процесса, включает в себя определение конкретных активов для вложения средств, а также пропорций (весов) распределения инвестиционного капитала между активами. Задача заключается в достижении наилучшего возможного компромисса между возможным риском и доходностью.

Основные положения этого подхода, сформулированные Г.Марковицем в 1952 г., заключаются в следующем:

Предполагается, что в настоящий момент времени, обозначенный как t = 0, инвестор имеет некоторую сумму денег для инвестирования;

деньги инвестируются в конкретные ценные бумаги, которые будут находиться в портфеле инвестора в течение определённого промежутка времени, называемого периодом владения, до момента времени, обозначенного как t = 1;

в конце периода владения инвестор продаёт ценные бумаги, которые были куплены в начале периода владения при t = 0;

доходности ценных бумаг и всего портфеля рассматриваются как случайные величины, так как в момент принятия решения инвестор не может точно спрогнозировать доходности ценных бумаг и портфеля на предстоящий период владения;

доходности ценных бумаг и всего портфеля, определяемые как случайные величины, характеризуются средними значениями доходности (мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем) и стандартными отклонениями – мерой риска, связанного с конкретным портфелем;

задача инвестора состоит в нахождении в момент времени t = 0 при покупке ценных бумаг сбалансированного решения на основе оценок ожидаемой доходности и ожидаемого риска каждого из возможных портфелей.

Ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг R определяется как средневзвешенная доходность ценных бумаг, составляющих компоненты портфеля

,

где N – число ценных бумаг в портфеле;

– вес i–й ценной бумаги в портфеле;

- доходность i–й ценной бумаги.

Дисперсия портфеля, состоящего из N ценных бумаг, вычисляется по формуле

,

где - ковариация активов i и j;

- коэффициент корреляции активов i и j;

σ _p; σ _i; σ _j - средние квадратические отклонеия доходности портфеля и входящих в него активов. Для портфелей, составляемых из фиксированного набора активов, отношение риск/доходность изменяется с изменением структуры портфеля, определяемого множеством { }. Инвестор выбирает свой портфель таким образом, чтобы обеспечить максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска или обеспечить минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.

Пример 1. Портфель должен состоять из двух видов ценных бумаг, параметры которых Определим доход и дисперсию для портфеля с долями Доход от портфеля R = = 0, 3*2 + 0, 7*3 = 2, 7.

Дисперсия суммы дохода составит

.

Риск инвестиций, измеряемый квадратическим отклонением дохода , составит: при полной положительной корреляции () ; при полной отрицательной корреляции () . При нулевой корреляции () .

Из сказанного следует, что эффективность диверсификации (в отношении сокращения риска) наблюдается только при отрицательной или в крайнем случае нулевой корреляции.

Зависимость доходности портфеля от риска при вариации относительных весов каждой составляющей портфеля носит название эффективной границы, которая содержит две ветви: нижнюю, где рост доходности происходит при уменьшении риска, и верхнюю, где рост доходности происходит при увеличении риска. Ветви эффективной границы соединяются в точке, соответствующей минимальному риску. Верхняя ветвь эффективной границы позволяет инвестору выбрать доходность портфеля и соответствующие ей риск и диверсификацию компонентов портфеля .

Программа Financial Toolbox (FT), входящая в программный комплекс Matlab, содержит набор операторов, позволяющих выполнить выполнить диверсификацию портфеля ценных бумаг, в том числе, оператор построения эффективной границы с указанием параметров точки минимального риска.

На интерактивном демонстрационном примере, приводимом программой Matlab, инвестор может распределить свои средства между несколькими фондами и для каждого варианта диверсификации портфеля построить эффективную границу, для каждой точки которой указывается доход, риск и показатели . Если инвестор выбрал ценные бумаги двух первых фондов Equity и Balanced, то эффективная граница приобретает вид, представленный на рис.1.

Рис. 1.

Минимальный риск (Volatiltty)составляет 9, 3505 с весами 0, 46093 и 0, 53907 при доходности (Expected Return) 9, 2353. При работе с первыми 4 фондами минимальный риск составляет 6, 7025 при доходности 10, 4243 (рис. 2). При работе со всеми 6 фондами минимальный риск составляет 5, 9334 при доходности 8, 3303 (рис. 3).

Рис.2.

Рис. 3.

Для построения эффективной границы необходимо располагать сведениями об ожидаемых доходах каждого фонда (вида ценных бумаг) и ковариационной матрицей, определяющей статистическую взаимозависимость этих доходов.

2. Числовые характеристики случайных величин

Пусть имеется 2 фонда К и S, доход которых по годам за последние 5 лет составил в процентах следующую величину, указанную во 2 и 3 столбцах табл. 1.

Таблица 1

Год	К	S	(K-mК)2	(S-mS)2	(K-mК)* (S-mS)
			(12-10)2=4	(10-11)2=1	(12-10)*(10-11)=-2
			(11-10)2=1	(15-11)2=16	(11-10)*(15-11)=4
			(8-10)2=4	(7-11)2=16	(8-10)*(7-11)=8
			(9-10)2=1	(11-11)2=0	(9-10)*(11-11)=0
			(10-10)2=0	(12-11)2=1	(10-10)*(12-11)=0
sum			4+1+4+1+0=10	1+16+16+0+1=34	-2+4+8+0+0=10
	10 = 50/5 mK=10	11 = 55/5 mS=11	var(K)=10/5=2	var(S)=34/5=6, 8	cov(K, S)=10/5=2
std			σ K = = 1, 414	σ S = = 2, 608	rKS= cov(K, S)/ σ Kσ S= = =0, 5423

В табл.1 приведен расчёт статистических параметров случайных величин K и S:

математического ожидания (mean) m_K и m_S;

дисперсии (variance) var(K) и var(S);

ковариации (covariance) cov(K, S);

среднего квадратического отклонения (standard deviation) σ _K и σ _S;

коэффициента корреляции (correlation) r_KS= cov(K, S)/ σ _Kσ _S.

Эти расчёты могут быть выполнены, как показано ниже, специальными операторами

программы Matlab:

sum(А) – сумма элементов вектора А;

mean(А) – математическое ожидание элементов вектора А;

var(A, 1) – центральная дисперсия элементов вектора А;

std(A, 1) - среднего квадратического отклонения вектора А (оператор std(A, 1) может быть использован независимо от предварительного применения оператора var(A, 1).

cov(A, B, 1) –ковариации векторов А и В. Программа возвращает ковариационную матрицу каждого вектора с каждым. Для рассматриваемого примера это матрица размерностью 2*2

(табл.2). По главной диагонали ковариационной матрицы располагаются значения дисперсий векторов Kи S.

Таблица 2

3. Нахождение эффективной границы.

Эффективная граница определяет связь весовых коэффициентов (Weights) диверсификации вкладов с максимальной ожидаемой доходностью (Expected Return) и, риском (Volatility), возможными при этом распределении вкладов по выбранным фондам. Риск измеряется средним квадратическим отклонением (standard deviation) дохода от его среднего значения. Для решения этой задачи необходимо ввести в программу два вида данных: Exp Return (среднюю доходность по вкладам) и ExpCovariance (ковариационную матрицу, определяющую статистическую связь между фондами, в которые поступают эти вклады. Программа возвращает три вида данных: Port Risk (волатильность дохода), Port Return (доход), PortWts (весовые коэффициенты вкладов в выбранные фонды).

Рассмотрим работу программы на конкретном примере

Пусть имеются четыре фонда: A, R, M, N, доходность которых приведена в табл.3,

ковариационная матрица в табл.4.

Таблица 3

Таблица 4

В табл.4 приведена только достаточная для дальнейших расчётов информация. Для удобства набора её на компьютере заполним всю матрицу I/J (табл.5).

Таблица 5

Требуется выбрать три фонда из четырёх, вклады в которые составят наилучший портфель (максимальный доход при наименьшем риске).Портфель должен состоять из вкладов с высокой доходностью и отрицательной ковариацией с наиболее доходным вкладом. Выберем фонды A, R, N, вклады в которые образуют хороший портфель, потому что: 1) обладают высокой доходностью; 2) существует негативная ковариация между доходами A и R, а также между доходами A и N. Для иллюстрации статистической связи

между фондами ковариационнуюматрицу можно преобразовать в корреляционную матрицу, используя команду

. ExpSigma –средние квадратические отклонения (standard deviation), риск, волатильность

фондов. ExpCorrC – корреляционная матрица имеющихся фондов.

Обратное преобразование корреляционной матрицы в ковариационную выполняется

командой

Данные трёх выбранных фондов приведены в табл. 6

Таблица 6

Рассчитаем с помощью программы Financial Toolbox точки эффективной границы.

График эффективной границы (рис. 4) построен с помощью команд

Рис. 4.

Из графика эффективной границы следует, что при небольшом снижении доходности портфеля: до 7, 77 % по сравнению с доходностью наиболее высокодоходного фонда A (8, 35 %) риск портфеля составляет 0.3 %. В то время как риск фонда А составлял 1, 6 % (). Оптимальная точка эффективной границы является левой точкой графика и представлена верхними числами в колонках распечатки ответа, возвращаемого программой построения эффективной границы. Как следует из первой строки массива Wts, оптимальной точке (ExpReturn = 7, 7719 %; PortRisk = 0, 3077 %), соответствуют весовые коэффициенты (PortWts) фондов A, R, N: 0, 4130; 0, 1796; 0, 4073. Это означает, что 41.3 % портфеля ценных бумаг должны быть размещены в фонде А; 17, 96 % - в фонде R и 40, 73 % - в фонде N.

Количество рассчитываемых точек эффективной границы можно задать атрибутом NumPorts функции [PortRisk, PortReturn, PortWts] = (ExpReturn, ExpCovariance, NumPorts). Для 5 точек получим программу

4. Векторные и матричные операции в программе Matlab, используемые в задаче “Диверсификация портфелей”

Проверим аналитически результаты, полученные программой. Получим величину среднего квадратического отклонения дохода пакета ценных бумаг, рассчитав дисперсию пакета трёх случайных величин A, R, N, заданных средними значениями и ковариационной матрицей. Для определения дисперсии D2 портфеля (системы нескольких случайных величин) необходимо произведение трёх сомножителей: V – вектора средних доходов выбранных фондов (PortReturn); A – ковариационной матрицы (ExpCovariance); V’ -транспонированного вектора V; Эта операция приведена ниже (d – среднее квадратическое отклонение (риск, волатильность) дохода портфеля.

Аналитический расчёт волатильности портфеля полностью совпадает с параметрами оптимальной точки, рассчитанной программой Financial Toolbox.

Рассмотрим более детально приведенные векторные и матричные операции в символьной форме. Чтобы выполнить действие в символической форме необходимо использовать атрибут sym, а данные отметить с обеих сторон знаком “‘” (апостроф).

Пример 1. Умножение вектора-строки V1 на матрицу А.

Результат операции – вектор-строка.

Пример 2. Умножение вектора-строки V1 на вектор-столбец V2’

Результат операции – число В рассматриваемой задаче – это дисперсия портфеля 0, 0947.