Сезонная волна

Используем ряд Фурье в качестве аналитической модели сезонности. В этом виде уравнение ряда Фурье запишется следующим образом:

(6)

В этом уравнении величина определяет номер гармоники ряда Фурье. От числа учтенных гармоник зависит степень точности данной аналитической модели. Обычно используют от 1 до 4 гармоник в зависимости от необходимой точности и формы сезонной или циклической составляющей. Для отыскания параметров уравнения используется метод наименьших квадратов.

(7)

Найдя частные производные этой функции и приравняв их нулю, получим систему нормальных уравнений, решение которой дает сле­дующие формулы для вычисления параметров:

(8)

Как видно из формул, параметры уравнений зависят от значений у и связанных с ними последовательных значений cos(kt_i) и sin (kt_i.).

Для изучения сезонных колебаний на протяжении выбранного периода (года) необходимо взять n = 12 (по числу месяцев в году). Тогда, представляя периоды как части длины окружности, ряд динамики можно записать в следующем виде:

Таблица 4

Период

Уровень

y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

y10

y11

Величины периодов получаются следующим способом:

При , при и т.д.

При вычислении надо иметь в виду, что в четырех квадрантах от 0 до косинусы и синусы четыре раза принимают одни и те же абсолютные значения, а именно: 0; 0, 5; 0, 866; 1, взятые со знаком «плюс» или «минус». Вычисления синусов и косинусов разных гармоник приведены в табл. 5.

Таблица 5

t	cos t	cos 2t	cos 3t	cos 4t	sin t	sin 2t	sin 3t	sin 4t
	0, 866	0, 5		-0, 5	0, 5	0, 866		0, 866
	0, 5	-0, 5	-1	-0, 5	0, 866	0, 866		-0, 866
		-1
	-0, 5	-0, 5		-0, 5	0, 866	-0, 866		0, 866
	-0, 866	0, 5		-0, 5	0, 5	-0, 866		-0, 866
	-1		-1
	-0, 866	0, 5		-0, 5	-0, 5	0, 866	-1	0.866
	-0, 5	-0, 5		-0, 5	-0, 866	0, 866		-0, 866
		-1			-1
	0, 5	-0, 5	-1	-0, 5	-0, 866	-0, 866		0, 866
	0, 866	0, 5		-0, 5	-0, 5	-0, 866	-1	-0, 866

Вычисление синусов и косинусов годовой динамике t обозначает номер месяца. Для определения параметров а_к и b_к находят соответствующие уравнения для гармоники. Для первой гармоники, т.е. для , уравнение примет вид:

(9)

в котором параметры a0, a1 и b1, будут найдены из соотношений:

Уравнение модели с учетом только первой гармоники (рис. 9) будет иметь следующий вид:

Далее построим модель сезонной волны, применив первую и вторую гармоники ряда Фурье (табл. 6).

Таблица 6

Месяц	t	Относительное сезонное колебание	у cos t	у sin t	y1	у cos 2t	у sin 2t	y2
Январь		0, 6597	0, 659704703		0, 886459156	0, 659704703		0, 9930
Февраль		0, 7718	0, 66841076	0, 38591845	0, 789424278	0, 385918453	0, 66841076	0, 9483
Март		0, 7784	0, 389182007	0, 67406324	0, 752262988	-0, 38918201	0, 674063236	0, 9682
Апрель		0, 7656		0, 76560211	0, 784925579	-0, 76560211		1, 0328
Май		0, 9370	-0, 468477138	0, 8114024	0, 878678534	-0, 46847714	-0, 8114024	1, 0774
Июнь		1, 0538	-0, 912583347	0, 5268957	1, 008376002	0, 526895697	-0, 91258335	1, 0575
Июль		1, 0936	-1, 093640386		1, 139290247	1, 093640386		0, 9930
Август		1, 2295	-1, 064735531	-0, 6147434	1, 236325125	0, 614743378	1, 064735531	0, 9483
Сентябрь		1, 2437	-0, 62186987	-1, 0770786	1, 273486414	-0, 62186987	1, 077078615	0, 9682
Октябрь		1, 1517		-1, 1517203	1, 240823824	-1, 15172032		1, 0328
Ноябрь		1, 2383	0, 619134436	-1, 0723408	1, 147070869	-0, 61913444	-1, 07234084	1, 0774
Декабрь		1, 2314	1, 066381093	-0, 6156935	1, 0173734	0, 615693472	-1, 06638109	1, 0575
Итого		12, 1545	-0, 758493273	-1, 3676947	12, 15449642	-0, 11938979	-0, 37841955	12, 1545

Находим вторую гармонику Фурье:

,

Уравнение модели с двумя гармониками будет иметь следующий вид:

Таким образом, можно сказать, что мы нашли аналитическое выражение циклической (сезонной) составляющей V_t.

Итак, построим общую модель ряда представляющую произведение составляющих U и V без случайной компоненты, а именно:

Полученное уравнение — модель ряда y_t, для которого известны составляющие U_t, V_t. Случайную составляющую Е_t, можно получить следующим образом:

Поскольку , и , — известные величины, то найти Еt, нетрудно. Модель, учитывающая составляющие U_t, V_t, E_t для данного ряда, может быть записана так:

График исходного динамического ряда, тренда и общей модели ряда у₀ представлен на рис.3.

Исследуем качество модели. Так как методика оценки качества аналогична методике оценки качества линейной модели, подробно излагать ее не будем, а приведем лишь основные расчеты.

1. Проверка случайностей уровней на основе критерия поворотных точек.

= 23 — число поворотных точек (табл.7).

> Р - целая часть от

где п — число членов ряда.

Следовательно, > Р, так как 23 > 17, и свойство случайностей выполняется.

Таблица7