Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Те точки максимума, минимума, которые мы рассматривали в предыдущем пункте, называют еще точками локального максимума, минимума и локального экстремума. Также говорят о точках глобального экстремума, т. е. о точках наибольшего и наименьшего значений функции на множестве.

Отметим, что в точках экстремума функция не обязательно дифференцируема.

Мы знаем, что функция, непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. А в каких точках это происходит. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 4. (Глобальный экстремум на отрезке) Функция непрерывная на отрезке, достигает свое наибольшее и наименьшее значения на отрезке либо на границе этого отрезка, либо в точке экстремума.

Доказательство. Пусть функция непрерывна на отрезке . Для доказательства теоремы достаточно заметить, что точка из интервала , в которой достигается наибольшее или наименьшее значения, автоматически является и точкой локального экстремума. Теорема доказана.