Достаточные условия экстремума функции

Теорема Ферма определяет необходимое условие экстремума функции. В точке экстремума функции производная функции или не существует или равна 0. В школе мы познакомились с одним из достаточных условий экстремума.

Теорема 2. (Достаточное условие экстремума 1) Пусть для функции и точки существует число такое, что функция непрерывна на множестве и имеет производную на интервалах и . При этом, если при и при , то точка является точкой максимума функции . Если при и при , то точка является точкой минимума функции .

Смыл теоремы следующий. Если производная непрерывной функции меняет знак при переходе через точку, то эта является точкой экстремума. Если знак производной меняется с «+» на «-», то эта точка экстремума является точкой максимума. Если знак производной меняется с «-» на «+», то эта точка экстремума является точкой минимума.

Доказательство. Применим формулу Тейлора с и остаточным членом в форме Лагранжа и получим, что приращение функции имеет один и тот же знак, т. к. при переходе через точку в приращении функции меняют знак оба множителя и . То есть с одной стороны от точки большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а с другой стороны от этой точки большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Это и гарантирует экстремум функции в точке . Теорема доказана.

Теорема 3. (Достаточное условие экстремума 2) Пусть производная функции равна 0 в точке () и существует вторая производная функция (), непрерывная в некоторой окрестности точки . Тогда, если точке , то точка является точкой экстремума функции . Если при этом , то точка является точкой минимума функции , если же при этом , то точка является точкой максимума функции .

Доказательство. Применим формулу Тейлора с и остаточным членом в форме Лагранжа и получим, что приращение функции . Мы видим, что приращения функции принимают значения одного знака при любых приращениях аргумента, что гарантирует экстремум функции в точке . При этом, если , то, в силу непрерывности, вторая производная остается положительной в окрестности точки и эта точка является точкой минимума функции . Если же при этом , то, соответственно, точка является точкой максимума функции . Теорема доказана.