ПРИЛОЖЕНИЕ. Многоканальная замкнутая СМО с простейшими потоками

Многоканальная замкнутая СМО с простейшими потоками

Постановка задачи

Допустим, задана многоканальная замкнутая система массового обслуживания с неограниченным временем ожидания и с простейшими потоками. Эта система

наиболее полно соответствует действительности. Она характеризуется следующими особенностями:

• поступление требований в систему на обслуживание происходит по одному, то есть вероятность поступления двух и более требований в один момент времени очень мала, и ею можно пренебречь (поток требований ординарный);

• вероятность поступления последующих требований в любой момент времени не зависит от возможности поступления в предыдущие моменты – поток требований без последействия;

• поток требований стационарный.

Выявление основных особенностей

Функционирование многоканальной замкнутой системы массового обслуживания можно описать через все возможные ее состояния и через интенсивность перехода из одного состояния в другое.

Основными параметрами функционирования СМО являются вероятности состояния системы, то есть возможность наличия n требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок) в системе – Pn. Так, вероятность P0 характеризует состояние, когда в системе нет требований и все каналы обслуживания простаивают, Р1

– когда в системе находится только одно требование, и т.д

Важным параметром функционирования системы массового обслуживания является также среднее число требований, находящихся в системе (то есть в очереди и на обслуживании), Nsyst, и средняя длина очереди, Noch. Исходными параметрами, характеризующими систему массового обслуживания, являются:

• число каналов обслуживания (касс, компьютеров, подъемных кранов, ремонтных бригад) – N;

• число требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок) – m;

• интенсивность поступления одного требования на обслуживание (то есть число возвращений требования в единицу времени) – λ;

• интенсивность обслуживания требований – μ.

Интенсивность поступления на обслуживание одного требования определяется как величина, обратная времени возвращения требования в систему, – tp:

Интенсивность обслуживания требований определяется как величина, обратная времени обслуживания одного требования, – tо:

Рассмотрим сначала решение задачи аналитическим методом. Для этого представим все возможные состояния системы массового обслуживания в виде размеченного графа состояний (рис. 5.31). Каждый прямоугольник графа определяет одно из всех возможных состояний, количественно оцениваемое вероятностью состояний Pn. Стрелки на графе указывают, в какое состояние система может перейти и с какой интенсивностью. При этом в многоканальной СМО необходимо различать два случая:

• число требований n, поступивших в систему, меньше числа каналов обслуживания N, то есть все требования находятся на обслуживании (0 ≤ n < N);

• число требований n, поступивших в систему, больше или равно числу каналов обслуживания N (N ≤ n), то есть N требований обслуживаются, а остальные r ожидают в очереди (r = 1, 2, …, m – N).

Первый прямоугольник с вероятностью P0 определяет состояние системы массового обслуживания, при котором все каналы обслуживания простаивают изза отсутствия требований в ней. Из этого положения СМО может перейти тольков состояние P1

, и тогда в ней появится одно требование, так как входной поток требований ординарный. С интенсивностью μ система может перейти также из состояния P1 в состояние P0

, если единственное требование, находившееся в системе, было обслужено раньше, чем появилось новое, и т.д.

Аналитический метод решения

Ограничимся рассмотрением установившегося режима работы системы массового обслуживания, когда основные вероятностные характеристики СМО постоянны во

времени. Тогда интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы. Эти сбалансированные интенсивности перехода состояния в другие состояния и обратно выглядят так.

Обозначим величину λ / μ, как и раньше, через ψ и назовем ее коэффициентом загрузки.

Рассмотрим сначала первый случай, когда 0 ≤ n < N.

Из первого уравнения можно найти значение P1:

Аналогичные выражения можно получить и для других вероятностей состояний.

Анализируя полученные выражения, вычисляем рекуррентное выражение для определения вероятности состояния системы, когда число требований, находящихся

в системе, n, меньше числа каналов обслуживания, N:

Рассмотрим теперь второй случай, когда N ≤ n ≤ m. В этой ситуации рекуррентное выражение для определения вероятности состояния системы будет записано в таком виде:

Используем очевидное равенство

Допустим, что наша система имеет два канала обслуживания: N = 2. Интервал времени между поступлениями двух смежных требований составляет 10 мин.

Среднее время обслуживания требования составляет 2 мин. Число обслуживаемых машин m равно 5. Требуется определить вероятность отсутствия требований в системе:

Решение задачи имитационным методом

Постановка задачи

Допустим, нам надо промоделировать работу многоканальной системы массового обслуживания – замкнутой с экспоненциальным законом поступления требований на обслуживание (лифты–пассажиры, экскаваторы–автосамосвалы, программы–

ЭВМ и т.д.), – для которой справедливы следующие условия:

• поступление одного требования в систему на обслуживание не зависит от поступления другого (отсутствие последействия);

• в систему одновременно никогда не поступает два или более требований (поток ординарный);

• вероятность поступления требований зависит только от продолжительности периода наблюдений (поток требований стационарный), а не от принятого начала отсчета времени.

Известно среднее время поступления требования на обслуживание, равное 10 мин, которое подчиняется экспоненциальному распределению вероятностей. В системе массового обслуживания имеется три канала обслуживания.

Требуется смоделировать процесс функционирования системы и определить следующие основные ее характеристики:

• коэффициент использования каждого канала обслуживания;

• среднее время использования каждого канала обслуживания;

• число входов в каждый канал обслуживания;

• среднее содержимое накопителя;

• среднее время пребывания требования в накопителе;

• максимальное содержимое накопителя;

• коэффициент использования накопителя.

Выявление основных особенностей

Изобразим графически процесс функционирования трехканальной замкнутой системы массового обслуживания

На рис. 5.32 представлены основные события, которые возникают в процессе работы СМО.

Охарактеризуем каждое событие, возникшее в моделируемой системе:

1. Поступление требований в систему (GENERATE).

2. Вход требования в накопитель (ENTER).

3. Передача требования в один из свободных каналов обслуживания (TRANSFER).

4. Ожидание освобождения одного из каналов обслуживания (SEIZE).

5. Выход требования из накопителя (LEAVE).

6. Время обслуживания требования в канале обслуживания (ADVANCE).

7. Освобождение канала обслуживания (RELEASE).

8. Возвращение требования в систему (TRANSFER).

Создание имитационной модели процесса

Создание имитационной модели начнем с построения заголовка модели, который

может быть представлен, например, в таком виде

Программу работы СМО можно представить в виде трех секторов.

В первом секторе указывается вместимость СМО. Это можно выполнить с помощью оператора STORAGE (Накопитель), который в нашем примере будет выглядеть так:

NAK STORAGE 3

Во втором секторе будем моделировать поток требований в систему и его обслуживание. Оператор GENERATE используем для формирования числа машин, которые обслуживает канал обслуживания. Этот режим использования оператора GENERATE предполагает, что поля А, В, С остаются пустыми, то есть ставятся соответственно три запятые, затем в поле операнда D указывается число машин, которые должны обслуживать каналы обслуживания:

GENERATE,,, 10

Далее машины поступают в канал обслуживания. При этом поток поступления машин на обслуживание простейший со средним интервалом 10 единиц времени. Это можно представить с помощью оператора ADVANCE, который в нашей задаче будет записан так:

MASH ADVANCE (Exponential(1, 0, 10))

Сбор статистической информации для многоканальной системы можно обеспечить с помощью операторов ENTER и LEAVE. Оператор ENTER может быть записан в таком виде:

ENTER NAK

В поле операнда А указано имя накопителя, вместимость которого должна быть заранее определена. Поскольку СМО многоканальная, то необходимо использовать оператор TRANSFER для обеспечения возможности направления требований к незанятому каналу:

TRANSFER ALL, KAN1, KAN3, 3

Сначала требование направляется к оператору, имеющему символическую метку KAN1. Этим оператором является SEIZE, который записывается так:

KAN1 SEIZE CAN1

Eсли канал обслуживания с символьной меткой KAN1 занят, то требование направляется к следующему каналу, перешагивая через три оператора. 3 – это число, указанное в поле операнда D в операторе TRANSFER. Таким образом, следующим оператором будет:

SEIZE CAN2

Если и он будет занят, то требование снова перешагнет через три оператора и т.д., пока не найдется незанятый канал обслуживания. В свободном канале обслуживания требование будет обслужено. Но предварительно требование должно запомнить канал, в который оно попало на обслуживание. Для этого используется оператор ASSIGN (Присвоить) – с его помощью в параметре требования под номером 1 запоминается имя канала, в который требование пошло на обслуживание.

В каждом канале имеется свой оператор ASSIGN. Например, для первого канала это присвоение будет выглядеть так:

ASSIGN 1, CAN1

Далее, после определения свободного канала и записи его имени с помощью оператора TRANSFER требование направляется на обслуживание. Это выглядит так:

TRANSFER, COME

Однако перед началом обслуживания должно быть подано сообщение о том, что требование оставило накопитель под именем NAK, в котором оно находилось. Это

будет выглядеть так:

COME LEAVE NAK

После выхода из накопителя требование поступает в канал на обслуживание.

Это действие выполняется с помощью оператора ADVANCE. Время обслуживания определяется так:

ADVANCE (Exponential(1, 0, 2))

После обслуживания требование выходит из канала обслуживания, и должен появиться сигнал о его освобождении. Это делается с помощью оператора RELEASE (Освободить):

RELEASE P1

Параметр требования под номером P1 содержит имя освобождаемого канала обслуживания. Далее требование входит в оператор TRANSFER с безусловным переходом для возвращения в систему. Он записывается так:

TRANSFER, MASH

Таким образом, машины после обслуживания снова возвращаются в систему для обслуживания. Возвращение машин в систему выполняется до тех пор, пока время моделирования не превысит время моделирования системы. Определение времени моделирования системы выполняется в третьем секторе модели. Оно определяется с помощью простой модели измерения времени, состоящей из трех операторов:

GENERATE 480

TERMINATE 1

START 1

Этот сектор моделирует время работы системы в течение рабочей смены, равной 480 мин.

Представление имитационной модели

Для представления имитационной модели выполните следующие действия:

• щелкните по пункту File главного меню системы. Появится выпадающее меню;

• щелкните по пункту New (Создать) выпадающего меню. Появится диалоговое окно Новый документ;

• выделите пункт Model и щелкните по кнопке ОК. Появится окно модели, в котором введите данную программу. Оно будет выглядеть так, как показано на рис. 5.33

Чтобы вызвать окно для представления имитационной модели в системе

GPSSW, можно также нажать комбинацию клавиш Ctrl+Alt+S.

Подготовка к моделированию

Перед началом моделирования можно установить вывод тех параметров, которые

необходимо получить в процессе моделирования. Для этого:

• щелкните по пункту Edit (Правка) главного меню системы или нажмите комбинацию клавиш Alt+E. Появится выпадающее меню;

• щелкните по пункту Settings (Установки) выпадающего меню. Появится диалоговое окно SETTINGS для данной модели, в котором можно установить нужные выходные данные. Для нашего примера это окно может выглядеть так, как показано на рис. 5.34.

Наличие галочки в окошках говорит о том, что эта информация будет выведена в окне результатов моделирования. В нашем примере будет выведена информация для следующих объектов:

• Facilities (Каналы обслуживания);

• Storages (Накопители).

Моделирование системы

После создания имитационной модели необходимо ее оттранслировать и запустить на выполнение. Для этого:

• щелкните по пункту Command главного меню системы или нажмите комбинацию клавиш Alt+C. Появится выпадающее меню;

• щелкните по пункту Create Simulation (Создать выполняемую модель) выпадающего меню.

Так как в модели есть управляющая команда START, то исходная имитационная модель будет транслироваться, и если в ней нет ошибок, то начнется процесс моделирования системы.

После выполнения программы появится окно с информацией о трансляции и выполнении – JOURNAL – и результаты работы программы в окне REPORT (рис. 5.35).

В верхней строке указывается:

• START TIME (Начальное время) – 0.000;

• END TIME (Время окончания) – 480.000;

• BLOCKS (Число блоков) – 18;

• FACILITIES (Число каналов обслуживания) – 3;

• STORAGES (Число накопителей) – 1.

Ниже указываются результаты моделирования для всех трех каналов обслуживания (FACILITY) соответственно под именами CAN1, CAN2, CAN3:

• ENTRIES (Число входов) – 163, 127, 98;

• UTIL. (Коэффициент использования) – 0.674, 0.580, 0.433;

• AVE. TIME (Среднее время обслуживания) – 1.984, 2.192, 2.119;

• AVAIL. (Доступность) – 1, 1, 1;

• OWNER – 0, 0, 5;

• PEND – 0, 0, 0;

• INTER – 0, 0, 0;

• RETRY (Повтор) – 0, 0, 0;

• DELAY (Отказ) – 0, 0, 0.

Ниже указываются результаты функционирования накопителя (STORAGE)

под именем NAK:

• CAP. (Capacity – Вместимость) – 3;

• REM. (Remove – Удален) – 3;

• MIN. (Минимальное содержимое) – 0;

• MAX. (Максимальное содержимое) – 3;

• ENTRIES (Число входов) – 388;

• AVL. (Доступность) – 1;

• AVE.C. (Средняя вместимость) – 0.169;

• UTIL. (Коэффициент использования) – 0.056;

• RETRY – 0;

• DELAY – 0.