Теоретическая часть. Простейшим примером гармонических колебаний является движение так называемого математического маятника

Рис. 8.1 Рис. 8.1.

Простейшим примером гармонических колебаний является движение так называемого математического маятника. Математическим маятником называется маятник, состоящий из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной и колеблющейся около точки О. В этом случае центр тяжести системы можно считать совпадающим с центром тяжести груза. Напишем уравнение движения для математического маятника, находящегося в поле тяготения и отклоненного от состояния равновесия на угол a. Система, выведенная из состояния устойчивого равновесия и предоставленная самой себе, совершает колебания, называемые свободными. На маятник в отклоненном состоянии действует сила (рис. 8.1): Р_t=mg sina. Она направлена по касательной к траектории груза в сторону положения равновесия. Уравнение движения груза будет иметь вид:

, (8.1)

В этой записи уравнения учтено, что возвращающая сила всегда направлена в сторону, противоположную направлению возрастания смещения х. При малых отклонениях маятника от положения равновесия (угол a не превышает 5-6 град.) можно считать, что , т.е. смещение по дуге можно считать приближенно равным смещению вдоль горизонтальной хорды. Уравнение (8.1) обычно записывается в виде:

, (8.2)

где – циклическая частота гармонических колебаний.

Решением этого дифференциального уравнения является выражение:

.

Период колебаний определяется формулой:

. (8.3)

Из этой формулы видно, что период колебаний математического маятника зависит только от ускорения силы тяжести в данном месте Земли и от длины маятника, и не зависит от амплитуды колебаний и от массы груза. Измеряя Т и используя формулу (8.3), можно вычислить ускорение свободного падения в данном месте земной поверхности. Этим методом впервые было измерено значение g на разных широтах земного шара, в результате чего была установлена зависимость g от широты j. Если измерить для нескольких значений соответствующие периоды колебаний (, где t-время n полных колебаний), затем построить график зависимости Т² от , то согласно формуле (8.3) эта зависимость может быть представлена в виде прямой типа: y = ax. Тангенс угла наклона этой прямой численно равен:

.

Отсюда можно найти ускорение свободного падения g:

Из-за наличия трения часть механической энергии маятника рассеивается в виде тепла, поэтому колебания всегда затухают. Так как маятник совершает вращательные колебания, то они описываются основным уравнением динамики вращательного движения относительно неподвижной оси:

, (8.4)

где J=J₀+ m – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О; J₀ – его момент относительно центра масс; – угловое ускорение; М_w – проекция результирующего момента всех сил, действующих на тело, на ось вращения. Он складывается из вращательного момента, создаваемого силой тяжести:

,

и тормозящего момента, создаваемого силами трения:

,

где k – коэффициент трения, – угловая скорость. Знак «–» в формуле для вращательного момента отражает тот факт, что возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия, а в формуле для тормозящего момента то, что сила сопротивления направлена всегда против направления движения.

При малых углах отклонения , тогда , и уравнение (8.4) можно представить в виде:

. (8.5)

Введя обозначения: , где b – коэффициент затухания; , где w₀ – собственная частота маятника, получаем универсальный вид дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний:

, (8.6)

его решением является функция:

, (8.7)

где – частота свободных затухающих колебаний, - начальная фаза.

Период свободных затухающих колебаний можно найти по формуле:

. (8.8)

Если считать, что затухание колебаний мало (см. конструкцию прибора), то им можно пренебречь в выражении (8.8). Учитывая, что

получаем для периода колебаний физического маятника следующую формулу:

. (8.9)

где - приведенная длина физического маятника.

Тогда значение ускорения свободного падения можно найти по формуле:

. (8.10)