Логарифмическая фазовая частотная характеристика разомкнутой системы

. (23)

- для усилительного звена; (24)

- для инерционного звена; (25)

- для усилительного звена; (26)

- для инерционного звена. (27)

Значение результирующей логарифмической фазовой характеристики разомкнутой системы (ЛФЧХ) путем суммирования (24, 25, 26, 27), получим (28):

. (28)

Подставив численные значения в вышеприведенные формулы, рассчитаем необходимые значения. Результаты вычислений сводим в таблицу 3.

Таблица 3 – Расчет фазовой частотной характеристики

w				)
0, 01		-0, 057299981	-90	-0, 031514997	-90, 08881498
0, 02		-0, 114599847	-90	-0, 063029975	-90, 17762982
0, 03		-0, 171899484	-90	-0, 094544914	-90, 2664444
0, 04		-0, 229198778	-90	-0, 126059797	-90, 35525857
0, 05		-0, 286497613	-90	-0, 157574603	-90, 44407222
0, 06		-0, 343795874	-90	-0, 189089314	-90, 53288519
0, 07		-0, 401093449	-90	-0, 22060391	-90, 62169736
0, 08		-0, 458390221	-90	-0, 252118373	-90, 71050859
0, 09		-0, 515686077	-90	-0, 283632683	-90, 79931876
0, 1		-0, 572980901	-90	-0, 315146822	-90, 88812772
0, 2		-1, 145847237	-90	-0, 63027458	-91, 77612182
0, 3		-1, 718484578	-90	-0, 945364214	-92, 66384879
0, 4		-2, 290778772	-90	-1, 260396682	-93, 55117545
0, 5		-2, 862616075	-90	-1, 57535296	-94, 43796903
0, 6		-3, 433883288	-90	-1, 890214051	-95, 32409734
0, 7		-4, 004467894	-90	-2, 204960996	-96, 20942889
0, 8		-4, 574258181	-90	-2, 519574873	-97, 09383305
0, 9		-5, 143143381	-90	-2, 834036811	-97, 97718019
		-5, 711013788	-90	-3, 148327993	-98, 85934178
		-11, 31076558	-90	-6, 277760884	-107, 5885265
		-16, 70047432	-90	-9, 370075258	-116, 0705496
		-21, 80301541	-90	-12, 40833248	-124, 2113479
		-26, 567008	-90	-15, 37738388	-131, 9443919
		-30, 96603737	-90	-18, 26423521	-139, 2302726
		-34, 99459776	-90	-21, 05825666	-146, 0528544
		-38, 66265599	-90	-23, 75124391	-152, 4138999
		-41, 99030533	-90	-26, 33734991	-158, 3276552
		-45, 00331476	-90	-28, 81291599	-163, 8162307
		-63, 43962153	-90	-47, 72982658	-201, 1694481
		-71, 57032276	-90	-58, 78592717	-220, 3562499
		-75, 96935213	-90	-65, 56087417	-231, 5302263
		-78, 69586395	-90	-70, 02205102	-238, 717915
		-80, 54361031	-90	-73, 14698894	-243, 6905993
		-81, 8759283	-90	-75, 44528138	-247, 3212097
		-82, 88108834	-90	-77, 20142028	-250, 0825086
		-83, 66597075	-90	-78, 58460195	-252, 2505727
		-84, 29561574	-90	-79, 70102399	-253, 9966397
		-84, 81181799	-90	-80, 62041991	-255, 4322379
		-85, 24263694	-90	-81, 3903467	-256, 6329836
		-85, 60760016	-90	-82, 04429216	-257, 6518923
		-85, 92071179	-90	-82, 6064898	-258, 5272016
		-86, 19227374	-90	-83, 09489332	-259, 2871671
		-86, 43003171	-90	-83, 52307828	-259, 95311
		-86, 63992088	-90	-83, 90149497	-260, 5414159
		-86, 82656517	-90	-84, 23831576	-261, 0648809
		-86, 9936201	-90	-84, 54002184	-261, 5336419
		-87, 14401345	-90	-84, 81181799	-261, 9558314
		-87, 28011771	-90	-85, 05793127	-262, 338049

Рисунок 9 – Логарифмическая частотная характеристика разомкнутой системы

Если разомкнутая система устойчива, для ее устойчивости в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию –180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю).

В данном случае ЛФЧХ совершает один отрицательный переход при положительных значениях ЛАЧХ. Можно сделать вывод о том, что замкнутая система не устойчива.

3 Синтез линейной системы автоматического регулирования по логарифмическим частотным характеристикам

3.1 Построение ЛАЧХ исходной системы

Асимптотическую ЛАЧХ построим по передаточной функции исходной системы согласно методике.

3.2 Построение желаемой ЛАЧХ

Желаемую ЛАЧХ построим на основании требований, предъявляемых к свойствам системы по методу В.В. Солодовникова.

Желаемую ЛАЧХ условно разделяют на три части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную.

Низкочастотная часть определяет статическую точность системы ‑ точность в установившемся режиме. Требования к системе в установившемся режиме не оговариваются, поэтому низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ должна совпадать с низкочастотной асимптотой исходной системы .

Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ незначительно влияет на динамические свойства системы. Она должна иметь такой же наклон, что и высокочастотная часть , поэтому либо совпадает, либо параллельна ей.

Среднечастотная асимптота определяет устойчивость, запас устойчивости, быстродействие системы. Ее параметрами являются частота среза , наклон, выражаемый в децибелах на декаду и диапазон частот.

Частоту среза , запасы устойчивости по модулю и по фазе выбирают по заданным значениям максимального перерегулирования и времени регулирования . в соответствии с номограммами предложенными Солодовниковым В.В.

время регулирования t_p = 1, 5 с;

перерегулирование s =25%;

;

. (21)

Рисунок 10 – Построение желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего устройства

3.3 Проверка запаса устойчивости по фазе скорректированной системы

Проверяем запас устойчивости по фазе для желаемой ЛАЧХ. Для этого сначала получим выражение для фазовой частотной характеристики ФЧХ системы по виду желаемой ЛАЧХ.

Фиксируем частоты излома желаемой ЛАЧХ

Постоянные времени найдем по следующим формулам

Расчета фазовой частотной характеристики системы представится в следующем виде (22)

(22)

Запас устойчивости определяем по следующей формуле (23)

(23)

Подставляя в формулу (22) значения частот излома желаемой ЛАЧХ, получим

Для частоты

Запас устойчивости

Условие запаса устойчивости

=> для частоты выполняется.

Для частоты

Запас устойчивости

Условие запаса устойчивости

=> для частоты не выполняется.

Условие запаса устойчивости выполняется только для частоты . Тогда проверим выполнение данного условия на частоте среза .

Для частоты

Условие запаса устойчивости:

.

=> для частоты выполняется.

Вывод

и , условие выполняется, значит, вопрос о коррекции желаемой ЛАЧХ, решаем на основе оценки качества системы.

3.4 Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы

Звенья, которые входят в скорректированную систему, определяем, как и при составлении фазовой частотной характеристики, по изменению наклона ЛАЧХ.

Тогда передаточная функция разомкнутой скорректированной системы представится в виде (24)

(24)

или введя новые переменные (25)

. (25)

где - коэффициенты собственного оператора.

;

;

- коэффициенты собственного оператора.

;

;

Подставив численные значения, получим (26)

. (26)

3.5 Построение ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства

Построим ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства путем графического вычитания ЛАЧХ исходной системы из желаемой ЛАЧХ (рисунок 10)

. (27)

3.6 Передаточная функция корректирующего устройства

По ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства составляем его передаточную функцию таким же способом, как для разомкнутой системы.

Передаточная функция последовательного корректирующего устройства имеет вид (28)

(28)

Исходя из ранее найденных значений отметим частоты излома ЛАЧХ корректирующего устройства (29)

(29)

Для частот излома найдем соответствующие им постоянные времени корректирующего устройства по формуле (30)

(30)

Исходя из ранее найденных значений (29, 30) получим (31) окончательный вид передаточной функции корректирующего устройства

. (31)

4 Расчет переходного процесса скорректированной системы

4.1 Определение передаточной функции замкнутой скорректированной системы

Для определения вещественной частотной характеристики аналитическим способом запишем выражение передаточной функции замкнутой скорректированной системы по формуле (32)

. (32)

где – передаточная функция разомкнутой скорректированной системы.

Преобразовав выражение (32), получим (33)

. (33)

где - коэффициенты собственного оператора.

;

;

- коэффициенты собственного оператора.

;

;

Подставив численные значения в данную формулу, получим окончательный вид для передаточной функции замкнутой скорректированной системы (34)

(34)

4.2 Расчет вещественной характеристики замкнутой системы

Подстановкой в передаточную функцию замкнутой скорректированной системы получают частотную передаточную функцию и затем выделяют из нее вещественную часть по методике, описанной в п. 1.3.

Частотная передаточная функция замкнутой скорректированной системы имеет вид (35)

. (35)

где - коэффициенты собственного оператора.

;

;

.

Запишем вещественную часть частотной передаточной функции (36)

. (36)

По полученному выражению рассчитывают , изменяя частоту от до значения, при котором , результаты вычислений заносим в таблицу 4 .

Таблица 4 – Расчет вещественной частотной характеристики

По результатам вычислений построим график вещественной характеристики замкнутой скорректированной САР (рисунок 11).

Рисунок 11 - Вещественная частотная характеристика замкнутой системы

4.3 Расчет переходного процесса методом трапеций

Вещественную частотную характеристику (рисунок 11) заменим мало отличающимися от кривой горизонтальными и наклонными прямолинейными

участками, образующими с осью ординат трапеции. Действительная ВЧХ при этом будет представлена как алгебраическая сумма трапецеидальных частотных характеристик (37)

. (37)

где ‑ число трапеций.

Горизонтальные отрезки чертим в точках экстремумов. Первый отрезок должен начинаться из точки , т.к. эта точка определяет конечное значение переходной характеристики . Более тщательно нужно аппроксимировать начальный участок ВЧХ. Конечный участок с ординатами, меньшими по абсолютному значению, чем можно не принимать во внимание. Проиллюстрируем все вышесказанное ниже.

Рисунок 12 - Замена вещественной частотной характеристики трапециями

Рисунок 13 - Замена вещественной частотной характеристики трапециями

Полученные трапеции вычертим на другом чертеже (рисунок 14) таким образом, чтобы основание каждой из них легло на ось .

Рисунок 14 - Трапеции вещественной частотной характеристики

Определим параметры трапеций.

, ,

.

.

.

По значениям вычислим коэффициенты наклона (38)

(38)

Округлим их до ближайшего из значений 0; 0, 05; 0, 1; 0, 15; … 0, 95; 1.

Подставив численные значения, получим

Рассчитаем переходные процессы отдельно для каждой трапеции.

В таблице h-функций таблица для каждой i-й трапеции отыскивается столбец, соответствующий значению коэффициента наклона . Затем для ряда значений условного времени выписывают соответствующие им значения . По значениям и вычисляют значения действительного времени и составляющей переходной характеристики (39, 40)

. (39)

. (40)

Результаты оформим в таблице 5.

Таблица 5 – Расчет графиков составляющих переходной характеристики

Продолжение таблицы 5

Продолжение таблицы 5