Контрольна робота № 4.

«РІЗНІ ПІДХОДИ ДО ПОБУДОВИ МНОЖИНИ ЦІЛИХ НЕВІД ’ ЄМНИХ ЧИСЕЛ. МЕТОД МАТЕМАТИЧНОЇ ІНДУКЦІЇ. СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ»

І. Довести справедливість наступного твердження: операція додавання в множині Z_o цілих невід’ємних чисел існує і єдина або існує одне і тільки одне відображення f: Z_o²®Z_o, яке кожній парі (а, в)єZ_o ставить у відповідність єдине ціле невід’ємне число (а+в)єZ_o.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Оскільки у формулюванні теореми наявні словосполучення «існує і єдина» і «існує одне і тільки одне», то доведення теореми складатиметься із двох частин. Це пояснюється тим, що в теоремі йдеться про існування та єдиність. У першій частині доведемо, що операція додавання, якщо вона існує, єдина. Як правило, всі теореми про єдиність доводяться методом від супротивного. У другій частині будемо доводити з використанням методу математичної індукції існування такої операції.

1. Припускаємо, що операція додавання існує, а доведемо, що вона єдина. Припустимо, що в множині М, яка є підмножиною множини Z_o, є дві різні операції додавання. Позначимо їх + і . Ці операції такі, що для них виконуються аксіоми 5 і 6, тобто: а+0=а, а+в'=(а+в)'; а 0=а, а в'=(а в)'. Покажемо, що множина М співпадає з множиною Z_o. Для доведення цього факту використаємо метод математичної індукції.

Відповідно до вимог цього методу слід перевірити виконання умов аксіом 5 і 6. Оскільки а+о=а і а 0=а, то а+0=а 0, тобто для нуля обидві операції однакові (єдині). Це означає, що 0єМ.

Припустимо, що ці операції єдині для будь-якого цілого невід’ємного числа вєМ, тобто в+0=в 0. Виходячи із вказаного припущення, спробуємо довести, що в'єМ, тобто а+в'=а в' виконуються вимоги аксіоми 6. Виконання цієї умови означатиме, що обидві операції додавання для в'єZ_o однакові, а тому в'єМ, а тоді за аксіомою 4 множина М співпадає з множиною цілих невід’ємних чисел Z_o, тобто в множині Z_o операції додавання + і виявились однаковими.

За аксіомою 6 для операції + маємо: а+в'=(а+в)'. За припущенням а+в=а в, а тому а+в'=(а+в)'=(а в)'. На підставі аксіоми 6 для операції маємо: а+в'=(а+в)'=(а в)'=а в'. Таким чином, і для в' операції + і однакові, тобто в'єZ_o. За аксіомою 4 можна твердити, що множина М співпадає з множиною Z_o. Саме тому наше припущення про неєдиність операцій додавання було хибним. Отже, якщо операція додавання існує, то вона єдина.

2. Доведемо, що операція додавання в множині Z_o існує. Для цього знову використаємо метод математичної індукції (в подальшому для скорочення пояснень будемо використовувати абревіатуру ММІ). Утворимо множину МєZ_o, в якій операція додавання існує і виконуються аксіоми 5 і 6: а+0=а; а+в'=(а+в)'. Спочатку застосуємо ММІ для в=0. Якщо а=0, то 0+0=0 (за аксіомою 5). 0+0'=(0+0)'=0'. Оскільки для а=0 аксіоми 5 і 6 виконуються, то 0єМ. Тепер застосуємо ММІ для довільного вєZ_o, тобто доведемо, що існує операція а+в, так, що виконуються аксіоми 5 і 6. Для цього припустимо, що 0+в=в, тоді 0+в'=(0+в)'=в' (за аксіомою 6). Таким чином, для 0 і довільного в операція додавання існує. Припустимо, що операція додавання виконується для довільного аєМ, тобто справджуються аксіоми 5 і 6. а+0=а, а+в'=(а+в)'. Спробуємо довести, що до множини М входить елемент а'. Для цього виберемо, що а'+в=(а+в)'. Перевіримо, чи виконуються аксіоми 5 і 6. а'+0=(а+0)'=а'; а'+в'=(а'+в)'=(згідно аксіоми 6)=((а+в)')'=(а+в')'. Отже, аксіома 6 для а' виконується, тому а'єМ. Оскільки вимоги аксіоми 4 виконані, то М=Z_o і операція додавання існує не тільки в множині М, а і в множині Z_o. Теорему доведено повністю.

ІІ. Перевести число 5342₇ в десяткову систему числення:

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Для того, щоб перевести число із недесяткової позиційної системи числення у десяткову, слід представити його у вигляді суми розрядних доданків, а потім виконати відповідні дії. Отже, маємо: 5432₇=5•7³ + 4•7² + 3•7¹ + 2•7⁰=5•343 + 4•49 + 21 + 2 = 1715 + 196 + 23 = 1934. Таким чином, 5432₇ = 1934.

ІІІ. Записати число 12345 в системах числення з основою q=2, 5, 8, 16.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Процес переведення числа, записаного у десятковій позиційній системі числення, в іншу позиційну систему числення з основою, відмінною від десяти, полягає у послідовному діленні цього числа на основі системи числення, потім ділення першої частки на систему числення, потім другої і так далі доти, доки не одержимо частку, що дорівнює нулю. Записавши послідовно остачі від останньої до першої, одержимо запис, який представляє запис даного числа в системі числення з новою основою. Зазначимо, що цифрами у новій системі числення будуть знаки, які не перевищують значення основи системи числення. Кількість цифр дорівнюватиме значенню системи числення.

12345 2

-12 6172 2

3 -6 3086 2

-2 1 -2 1543 2

14 -0 10 -14 771 2

-14 17 -10 14 -6 385 2

5 -16 8 -14 17 -2 192 2

-4 12 -8 3 -16 18 -18 96 2

1 -12 6 -2 11 -18 12 -8 48 2

0 -6 1 -10 5 -12 16 -4 24 2

0 1 -4 0 -16 8 -2 12 2

1 0 -8 4 -12 6 2

0 -4 0 -6 3 2

0 0 -2 1 2

1 -0 0

Отже, 12345 = 11000000111001₂.

12345 16

-112 771 16

114 -64 48 16

-112 131 -48 3 16

25 -128 0 -0 0

-16 3 3

Отже, 12345=3039₁₆. аналогічно можна виконати переведення в дві інші системи числення.

ІУ. Виконати дії над системними числами а) 8(12)7(10)3₁₈ + 5(15)9(16)₁₈; б) 5432₈ – 4567₈ у вказаній системі числення, а результат перевірити оберненою дією.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

При виконанні цієї вправи буде враховувати, що у системі числення з основою 18 кожний наступний розряд містить 18 одиниць попереднього розряду. Відповідно у системі числення з основою 8 – вісім одиниць попереднього розряду. Записуємо числа так, щоб одиниці відповідних розрядів були один під одним.

8(12)7(10)3₁₈ Додавання починаємо з одиниць першого розряду: до 3

+ 5(15)9(16) ₁₈ одиниць 16 одиниць буде 19 одиниць, а це 1 одиниця

90521₁₈ першого розряду, які записуємо під одиницями першого

розряду, а одну одиницю другого розряду додамо до

одиниць другого розряду. До 10 одиниць другого розряду додаємо 9 одиниць, буде 19 одиниць та ще 1 одиниця, то буде 20 одиниць другого розряду, а це 1 одиниця третього розряду та 2 одиниці другого розряду. Отже, під одиницями другого розряду записуємо 2, а одну одиницю третього розряду додамо до одиниць третього розряду. 7+15=22 та ще 1, то буде 23 одиниці третього розряду або 1 одиниця четвертого розряду та 5 одиниць третього, які записуємо під одиницями третього розряду. 12+5=17 та ще 1, то буде 18 одиниць четвертого розряду, а це 1 одиниця п’ятого розряду та 0 одиниць четвертого, які записуємо під одиницями четвертого розряду. До 8 одиниць п’ятого розряду додати 1, буде 9 одиниць, які записуємо під одиницями п’ятого розряду. Таким чином, 8(12)7(10)3₁₈ + 5(15)9(16)₁₈ = 90521₁₈.

Щоб перевірити правильність виконання дії додавання, потрібно від суми відняти один із доданків. Якщо одержимо інший доданок, то дія виконана правильно. Записуємо від’ємник так, щоб одиниці відповідних розрядів були під відповідними розрядами зменшуваного.

9 0 5 2 1₁₈ від 1 одиниці не можна відняти 16, а тому позичаємо одну

- 5(15)9(16) ₁₈ одиницю другого розряду, яка містить 18 одиниць першого. 8(12)7(10)3 1+18=19, а від 19-16=3 одиниці першого розряду, які записуємо під першим розрядом. Від однієї одиниці другого розряду не можна відняти 9 одиниць, а тому позичаємо одну одиницю третього розряду, яка містить 18 одиниць другого. 1+18=19, 19-9=10 одиниць другого розряду, які записуємо під другим розрядом. Від 5 одиниць третього розряду не можна відняти 15 одиниць, а тому позичаємо 1 одиницю четвертого розряду, яка містить 18 одиниць третього. Отже, 4+18=22, а 22-15=7, яку записуємо під третім розрядом. У четвертому розряді залишилося 17 одиниць, віднявши від яких 5, одержимо 12 одиниць четвертого розряду, які записуємо під четвертим розрядом. У п’ятому розряді залишилося 8 одиниць, які і записуємо. Таким чином, маємо: 90521₁₈ - 5(15)9(16)₁₈ = 8(12)7(10)3₁₈. Отже, додавання виконано правильно.

Другий приклад виконаємо без детальних пояснень:

5432₈ Перевірка: а) 4567_{8 б)} 5432₈

- 4567₈ + 643₈- 643₈

643₈ 5432₈ 4567₈

Таким чином, операція віднімання виконано правильно.

У. Знайти х, при якому має місце рівність: 236_х - 145_х = 61_х.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Запишемо зменшуване, від’ємник і різницю як суму розрядних доданків у системі числення з основою х. Маємо: 2х² + 3х¹ + 6х⁰ – (1х² + 4х¹ + 5х⁰) = 6х¹ + 1х⁰. звідси: 2х² + 3х + 6 – х² - 4х - 5 = 6х + 1. х² - х + 1 = 6х + 1. Отже, маємо квадратне рівняння: х² - 7х = 0. Звідси: х(х-7)=0. Коренями цього рівняння будуть х₁=0 і х₂=7. Оскільки основою системи числення можуть бути натуральні числа більші, ніж 1, то нашу рівність задовольняє х₂=7. Таким чином, задана рівність матиме вигляд: 236₇ - 145₇ = 61₇. Зробимо перевірку дії віднімання оберненою дією додавання.

145₇

+ 61₇

236₇ Отже, рівність правильна при х=7.

УІ. Довести за допомогою методу математичної індукції наступні твердження: а) + + + … + = ; б) (4ⁿ⁺² + 5²ⁿ⁺¹) 21.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Доведення методом математичної індукції складається із наступних етапів: 1) перевіряємо твердження при n=1 чи 2 (якщо маємо справу із сумою!); 2) припускаємо, що твердження істинне при n=k; 3) виходячи із припущення, пробуємо довести справедливість твердження для n=k+1; 4) якщо це вдалося, то на підставі аксіоми індукції робимо висновок про істинність твердження для будь-якого натурального числа.

1. Оскільки у прикладі а) маємо справу із сумою, то перевіримо істинність твердження при n=2. Обчислимо суму двох перших доданків у лівій частині рівності: + = Обчислимо значення правої частини при n=2: Оскільки = , то твердження істинне при n=2.

2. Припустимо, що твердження істинне при n=k, тобто має місце рівність:

+ + + … + = .

3. Спробуємо довести справедливість твердження при n=k+1, тобто, що вираз + + + … + + можна представити у вигляді виразу . Для цього будемо перетворювати вираз + + + … + + . Оскільки ми припустили, що рівність правильна при n=k, то вираз + + + … + можна замінити виразом . Отже, маємо + + + … + + = + . Зведемо ці дроби до спільного знаменника, яким буде ((6k+1)(6k+7). Додатковим множником до першого доданка буде 6k+7. + = . Для подальшого спрощення виразу використаємо теорему про розкладання квадратного тричлена ах²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂), де х₁ і х₂ – корені квадратного рівняння ах²+bx+c=0. Для розв’язування квадратного рівняння 6к²+7к+1=0 знайдемо спочатку дискримінант D=b²-4ac. D=7²-4•6•1=49-24=25=5². Шукаємо корені квадратного рівняння:

k_{1, 2}= . Отже, k₁=-1, k₂=- . Таким чином, маємо: 6k²+7k+1=6(k+1)(k+ )=(k+1)(6k+1). Тепер . Ми довели, що + + + … + + = , тобто рівність є правильною і при n=k+1.

4. На основі аксіоми індукції ми можемо зробити висновок про справедливість рівності для будь-якого натурального числа n, тобто рівність + + + … + = справедлива для будь-якого nєN.

1. Розглянемо тепер розв’язування прикладу б), тобто спробуємо довести, використовуючи метод математичної індукції, що (4ⁿ⁺² + 5²ⁿ⁺¹) 21 для будь-якого nєN. Перевіримо, чи справджується це твердження при n=1. 4¹⁺² + 5^2•1+1=4³ + 5³= =64+125=189 21. Отже, при n=1 твердження справедливе.

2. Припустимо, що твердження справедливе при n=k, тобто (4^k+2 + 5^2k+1) 21.

3. Виходячи із припущення, спробуємо довести справедливість твердження при n=k+1, тобто спробуємо показати, що (4^(k+1)+2 + 5^2(k+1)+1) 21. Будемо перетворювати вираз 4^(k+1)+2 + 5^2(k+1)+1=4^k+3+5^2k+3=4•4^k+2+5²•5^2k+1=4•4^k+2+25•5^2k+1= =4•4^k+2+4•5^2k+1+21•5^2k+1=4(4^k+2+5^2k+1)+21•5^2k+1.

Оскільки вираз 4(4^k+2+5^2k+1) 21 згідно теореми про подільність добутку, бо (4^k+2+5^2k+1) 21 згідно припущення, а вираз 21•5^2k+1 21 згідно теореми про подільність добутку, то вираз (4(4^k+2+5^2k+1)+21•5^2k+1) 21 згідно теореми про подільність суми. Отже, (4ⁿ⁺² + 5²ⁿ⁺¹) 21 для будь-якого nєN.

4. На основі аксіоми індукції ми можемо зробити висновок про справедливість твердження (4ⁿ⁺² + 5²ⁿ⁺¹) 21 для будь-якого nєN.

УІІ. Обґрунтуйте вибір дії про розв’язуванні задач:

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

У задачі «Дівчинка купила 5 зошитів у лінійку та 7 зошитів у клітинку. Скільки всього зошитів купила дівчинка?» мова йде про відшукання числа елементів обєднання двох множин, які не мають спільних елементів. Якщо А – множина зошитів у лінійку, де n(А)=5, В – множина зошитів у клітинку, де n(В)=7, то n(А В)=n(А)+n(В)=5+7=12. Отже, задача повинна розв’язуватися дією додавання.

У задачі «Біля ставка росло 14 осик і кілька беріз. Осик росло 6. Скільки беріз росло біля ставка» мова йде про такі множини: А – множина всіх дерев, які росли біля ставка, В – множина осик, С – множина беріз. Множина С є доповненням множини В до множини А, а тому n(С)=n( _А)=n(А)-n(В)=14-6=8. Отже, задачу слід розв’язувати дією віднімання.

У задачі «Учні посадили біля школи 5 рядів дерев по 6 дерев у кожному ряду. Скільки всіх дерев посадили учні?» мова йде про 5 еквівалентних між собою множин, кожна із яких містить 6 елементів. Нам слід знайти число елементів обєднання цих множин. За означенням це число знаходиться множенням, тобто 6•5=30.

У задачі «Катруся розклала 12 апельсинів на три тарілки порівну. По скільки апельсинів на кожній тарілці?» мова йде про множину А апельсинів, де n(А)=12. Цю множину слід розбити на 3 еквівалентні між собою підмножини та знайти кількість елементів кожної підмножини. Такі задачі розв’язуються дією ділення, тобто 12: 3=4.

УІІІ. Обчисліть, пояснивши, які закони використовували для спрощення обчислень:

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Розв’язуючи приклад 546 + 397 + 503 + 454, використаємо для спрощення спочатку переставний закон додавання, а потім сполучний і тоді матимемо: 546+397+503+454=(546+454)+(397+503)=1000+900=1900.

Розв’язуючи приклад 375•42 + 375•36 - 78•75 спочатку використаємо розподільний закон множення відносно додавання, тобто: 375•42+375•36-78•75=375•(42+36)-78•75=375•78-78•75=78•(375-75)=78•300=23400.