Точка А не лежит в плоскости ромба KNPF. Доказать, что прямая, проходящая через середины отрезков AF и AP, параллельна стороне KN.

Дано: KNPF – ромб, АÏ (KNPF)

АА₁=А₁F, AA₂=A₂P

Доказать: A₁A₂ ç ê KN

Доказательство:

Точки A, F, P образуют плоскость b, отличную от плоскости данного ромба KNPF.

Рассмотрим плоский DAFP, из условия задачи: АА₁=А₁F, AA₂=A₂P, A₁A₂ следует, что A₁A₂ – его средняя линия, значит A₁A₂ ç ê FP.

Так как KNPF – ромб, то KN || FP, следовательно по признаку параллельности прямых A₁A₂ ç ê KN

№7. Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пресекающие некоторую плоскость в точках А₁, В₁, С₁. Доказать равенство треугольников АВС и А₁ В₁ С_1.

Дано: a||b, b A, B, CÎ a A_1, B_1, C₁Î b AA₁||BB₁||CC₁

Доказать: rABC = r A₁B₁C₁

Доказательство:

Пусть rABCÎ a, r A₁ B₁C₁Î b, a||b AA₁||BB₁||CC₁- по условию

Через прямые AA₁, BB₁, CC₁ проходят три плоскости, пересекающие плоскость a по сторонам rABC и плоскость b - по сторонам r A₁ B₁C₁

По свойству параллельных плоскостей, пересекаемых 3-ей плоскостью, имеем АС||A₁C₁, BC|| B₁C₁, AB||A₁B₁

АВВ₁А₁, ВСС₁В₁, АСС₁А₁ – параллелограммы. Следовательно, по свойствам сторон параллелограмма АВ=А₁В₁, АС=А₁С_1, ВС=В₁С_1.

rABC= r A₁ B₁C₁ по трем сторонам.

№8.Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А₁ и В₁. Чему равен отрезок А₁ В₁, если АВ=а?

Дано: a||b, A, BÎ a, A_1, B₁Î b

АВ = а

Найти: A₁ B₁

Решение:

1) a||b по условию. Строим прямые АA₁|| BB₁

2) Плоскость (АA₁BB₁)Ç a=АВ, а так же (АA₁BB₁)Ç b=А₁В₁, следовательно, АВ||A₁B₁ по свойству двух параллельных плоскостей, пересекающихся 3-ей, где прямые пересечения параллельны

3) АA₁B₁В – параллелограмм, следовательно, по свойствам параллелограмма А₁В₁=АВ= а