Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях

Пример 3

с сосредоточенными параметрами»

Задача 2 (рис. 2, табл. 4)

1. Найти закон изменения искомой величины, указанной в табл.4, если в цепи, схема которой указана на рис. 2, подключается постоянное напряжение U = 100 В.

2. Определить переходную и импульсную характеристики цепи для искомой величины.

3. Написать выражения интегралов Дюамеля для определения искомой величины в интервале 0< t < ¥ с использованием переходной и импульсной характеристик, определенных в п.2, если на цепь действует прямоугольный импульс напряжения 100 В, длительностью 0, 5 с. Построить график до t = 5 c/

Рис. 2

Таблица 4

Вариант	Искомая величина	R, Ом	L, мГн

Решение:

1. Закон изменения искомой величины .

Задачу решим классическим методом.

Определим .

1.1 Схема цепи до коммутации при . До коммутации источник отключен, следовательно, независимые и зависимые начальные условия нулевые:

,

.

1.2 Цепь при (непосредственно после коммутации)

По закону коммутации ток индуктивности:

Для определения нарисуем схему в момент коммутации. Т.к. , то ветвь с индуктивностью представляет собой разрыв ветви, ее не учитываем в схеме.

Общий (входной) ток в цепи:

По формуле разброса токов в параллельных ветвях:

1.3 Цепь при .

Здесь установившийся режим. Т.к. в цепи источник постоянного напряжения, то индуктивность представляет короткое замыкание ветви.

Общий (входной) ток в цепи:

По формуле разброса токов в параллельных ветвях:

1.4 Составляем и решаем характеристическое уравнение.

Для этого в цепи после коммутации все источники положим равными нулю, и найдем входное сопротивление цепи относительно любой ветви:

Приравняв к нулю, получим корень характеристического уравнения:

.

.

Отсюда корень характеристического уравнения:

.

1.5 Записываем мгновенное значение искомого тока в общем виде:

1.6 Определяем постоянную интегрирования в момент коммутации ():

С учетом: получаем:

Искомый ток:

1. Переходная и импульсная характеристика .

2.1 Для определения переходной характеристики линейной цепи в общем случае необходимо рассмотреть переходные процессы в данной цепи при воздействии на нее единичного импульса тока или напряжения. Это можно сделать с помощью классического или операторного метода анализа переходных процессов. На практике удобнее использовать соотношения, устанавливающие связь между временными и частотными характеристиками.

Переходная характеристика есть реакция цепи на единичный скачок напряжения и численно равна переходному току или напряжению на участке цепи при включении этой цепи на постоянное напряжение, равное 1 вольту.

Подключим к входным зажимам источник напряжения

Эту задачу мы только что решили в п.1, единственное различие – в том, что источник напряжения вместо – . Поэтому искомый ток:

Следовательно, переходная характеристика будет равна этой реакции цепи на единичный скачок:

.

2.2 Импульсная характеристика цепи есть производная от переходной

характеристики .

Однако, следует учесть, что если переходная характеристика отлична от нуля при , т.е. имеет скачок при , то при дифференцировании появляется дополнительное слагаемое:

.

В рассматриваемой задаче , поэтому

где – импульсная функция (функция Дирака).

Графики переходной и импульсной характеристик:

1. Расчет реакции цепи - тока временным методом, используя интеграл Дюамеля.

3.1 Использование интеграла Дюамеля.

Входное напряжение имеет форму прямоугольного импульса, аналитическая запись которого может быть представлена как

Число участников интегрирования определяется числом участков в функции, описывающей входной сигнал, в которых она непрерывна и дифференцируема. Для функции таких участков в виде интервалов времени два: и . Необходимость учета второго участка, когда , объясняется тем, что за время действия импульса в реактивных элементах цепи накапливается энергия электрического и магнитного полей, которая после окончания импульса постепенно убывает до нуля, создавая напряжение и токи в цепи. Анализ этих величин и проводится в интервале .

Важнейшей характерной особенностью аппарата интеграла Дюамеля является то, что при записи реакции цепи на каждом новом интервале времени наличие скачкообразного изменения входного сигнала в начальный момент рассматриваемого интервала учитывается дополнительным слагаемым вида:

.

Где

– амплитуда скачка;

– момент действия скачка.

Учитывая сказанное, запишем ток .

для интервала времени

для интервала времени

3.2 Использование интеграла наложения.

В отличие от интеграла Дюамеля в интеграле наложения не учитываются дополнительными слагаемыми скачки входного напряжения:

Реакция заданной цепи на прямоугольный импульс будет равна:

для интервала времени

Используя фильтрующее свойство импульсной - функции, получим:

для интервала времени . Этот интервал интегрирования содержит точку разрыва функции . Разбивая интервал интегрирования на два промежутка , получим:

Поскольку , то

Сравнение результатов расчетов тока с использованием интегралов наложения и Дюамеля показывает, что они совпадают между собой.

Построим графики входного импульса и реакции цепи :