Геометричний та фізичний зміст похідної

Геометричний зміст похідної полягає у наступному: кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(x), що приведена у точці цього графіка з абсцисою х₀ дорівнює похідній функції у = f(x) у цій точці (мал. 96), тобто

k = f '(x₀).

Оскільки k = tg α, де α - кут, який утворює дотична з додатнім напрямом осі абсцис, то у випадку f '(x₀) > 0, кут α - гострий, якщо f '(x₀) = 0, то дотична паралельна осі абсцис (або співпадає з нею), а у випадку f '(x₀) < 0, кут α -тупий.

Приклад 1. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f(х)=х² в точці з абсцисою х₀ = -1. Розв’язання. k = f '(-1). Оскільки f '(x) = (х²) = 2х, то k = 2 ∙ (-1) = -2.

Приклад 2. Знайдіть кут нахилу до осі абсцис дотичної, проведеної до графіка функціїf(х) = 2 , що проведена в точці А(1; 2).

Розв’язання. Тоді

a тому α = π /4. Фізичний зміст похідної полягає у наступному: якщо шлях, пройдений тілом, що рухається прямолінійно, до моменту часу t(t > 0), визначається за формулою х(t), то швидкість руху υ (t) в момент часу і дорівнює похідній цієї функції:

а прискорення a(t) - похідній швидкості υ (t):

Приклад. Задано закон прямолінійного руху (х - вимірюється у метрах, t - у секундах). Знайдіть швидкість і прискорення в момент часу t = 2с.

Розв’язання.