Г л а в а 4. Электромагнитное излучение в среде

4.1. Уравнения Максвелла в среде

Микроскопическое электрическое и магнитное поля в среде, создаваемые микроскопической плотностью зарядов и токов , описываются уравнениями Максвелла [1]:

, (4.1)

, (4.2)

, (4.3)

, (4.4)

где – скорость света в вакууме. Напомним, что уравнение (4.1) представляет собой закон электромагнитной индукции. Уравнение (4.2) постулирует отсутствие магнитных зарядов. Из уравнения (4.3) вытекает закон Ампера для магнитного поля (2-е слагаемое в правой части равенства (4.3)), кроме того, оно содержит добавленный Максвеллом ток смещения (первое слагаемое в правой части (4.3)). Наконец, уравнение (4.4) описывает закон Кулона в дифференциальной форме.

Фигурирующие в системе (4.1) – (4.4) микроскопические поля имеют сложную пространственную структуру, отражающую особенности атомного строения вещества. Тонкие детали этих полей содержат в себе избыточную информацию, как правило, ненужную в практических приложениях. Чтобы преодолеть эти недостатки, вместо микроскопических полей и рассматриваются макроскопические поля и , определяемые согласно равенствам

и , (4.5)

где усреднение производится по физически бесконечно малому объему содержащему точку . Под физически бесконечно малым объемом понимается объем, достаточно малый, чтобы удержать практически необходимую информацию о пространственной структуре поля, и в то же время достаточно большой, чтобы сгладить микронеоднородности электромагнитного поля.

После усреднения по формулам (4.5) левых и правых частей равенств (4.1) – (4.4) система уравнений Максвелла принимает вид

, (4.6)

, (4.7)

, (4.8)

. (4.9)

В правой части равенства (4.8) плотность электрического тока, усредненная по физически бесконечно малому объему, представлена в виде суммы плотности тока проводимости и плотности тока связанных зарядов . Для плотности тока проводимости справедлив закон Ома в дифференциальной форме:

, (4.10)

где – проводимость среды. Чтобы описать плотность тока связанных зарядов, вводится вектор поляризации среды , который по определению является дипольным моментом единицы объема среды. С его помощью имеем

. (4.11)

Вектор поляризации среды связан с усредненной по бесконечно малому физическому объему плотностью связанных зарядов , фигурирующей в правой части уравнения (4.9), согласно равенству

. (4.12)

В правой части (4.9) для общности введена плотность внешних зарядов , которую в дальнейшем будем полагать равной нулю, т.е. считать среду в целом электрически нейтральной. Кроме того, мы предполагаем, что среда немагнитна, т.е. вектор магнитной индукции в ней совпадает с вектором магнитного поля: .

Три составляющие вектора поляризации среды могут описать (согласно равенствам (4.11) – (4.12)) четырехвектор плотности тока , поскольку компоненты последнего не являются независимыми, а связаны уравнением непрерывности:

, (4.13)

выражающим закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме. В то же время равенство (4.13), как в этом легко убедиться, автоматически выполняется для любого вектора , т.е. не накладывает на его компоненты никаких дополнительных связей.

Уравнения Максвелла (4.8) и (4.9) можно записать в более компактном виде, если ввести вектор электрической индукции согласно равенству

. (4.14)

Тогда вместо уравнений (4.7) и (4.8) с учетом закона Ома (4.10) имеем

, (4.15)

. (4.16)

4.2. Линейный отклик среды на электромагнитное воздействие

Для не слишком сильных полей вектор электрической индукции линейным образом зависит от вектора напряженности электрического поля. Соответствующее выражение имеет вид

. (4.17)

Здесь введены диэлектрическая проницаемость среды e и восприимчивость среды , осуществляющая связь между наведенной поляризацией и макроскопическим электрическим полем. Нулевой нижний предел интегрирования в формуле (4.17) отражает принцип причинности: следствие не может опережать причину по времени. Переходя в равенстве (4.17) к фурье-образам от соответствующих величин, находим

, (4.18)

. (4.19)

Функция описывает линейный отклик среды на монохроматическое поле, она также называется функцией отклика. Фурье-образ диэлектрической восприимчивости определяется равенством

, (4.20)

где – действительная функция времени, т.к. она связывает согласно (4.17) действительные величины. С учетом этого из формулы (4.20) вытекает, что

. (4.21)

Записывая комплексную функцию через действительную и мнимую части и учитывая равенство (4.21), находим

; , (4.22)

т.е. действительная часть восприимчивости является четной функцией частоты, а мнимая часть – нечетной. Диэлектрическая восприимчивость среды удовлетворяет тем же соотношениям Крамерса-Кронига, что и динамическая поляризуемость атома (см. ниже соотношения (3.55) – (3.56)).

Формула (4.19) связывает поляризацию среды и макроскопическое поле через диэлектрическую восприимчивость вещества. Поляризация среды может быть выражена через локальное электрическое поле , действующее на -й атом в точке его локализации. Тогда отклик на электромагнитное воздействие будет определяться атомной поляризуемостью согласно формуле

, (4.23)

где – индекс, нумерующий тип атома; – динамическая поляризуемость и – концентрация атомов -го типа. Чтобы воспользоваться формулой (4.23), нужно знать явное выражение для локального поля , которое невозможно выписать в общем виде. Тем не менее в ряде случаев оказывается справедливым следующее выражение (формула Лорентца):

. (4.24)

Равенство (4.24) справедливо, например, для кубических кристаллов. Второе слагаемое в этой формуле представляет собой так называемое поле Лорентца, т.е. электрическое поле, создаваемое на атоме поляризационными зарядами, расположенными на внутренней поверхности фиктивной сферической полости, вырезанной вокруг рассматриваемого атома в диэлектрическом образце. Заметим, что если образец представляет собой однородный диэлектрический шар, помещенный в однородное внешнее поле , то локальное поле в его центре совпадает с внешним полем . В этом случае поле Лорентца полностью компенсирует поле, создаваемое поляризационными зарядами на поверхности шара. Из приведенного примера видно, что локальное поле может сильно отличаться от макроскопического. С помощью формул (4.23) – (4.24) и определения диэлектрической проницаемости (4.18) можно получить связь между величиной и поляризуемостью атомов среды (формула Клаузиуса-Моссоти):

. (4.25)

Отсюда следует, что для разреженной среды, когда диэлектрическая проницаемость близка к единице, справедливо приближенное равенство:

. (4.26)

Из этой формулы для больших частот вытекает выражение для высокочастотной диэлектрической проницаемости. Выпишем его для моноатомной среды:

, , (4.27)

где – плазменная частота, – концентрация атомов среды. При выводе (4.27) использовалось выражение для высокочастотной поляризуемости (3.50), в котором число атомных электронов было положено равным заряду ядра в предположении электрической нейтральности атома: . Равенство (4.27) представляет собой плазменную формулу для диэлектрической проницаемости. Действительно, в случае полностью ионизированной плазмы, когда собственные частоты электронов можно считать нулевыми, автоматически выполняется условие высокочастотности, использовавшееся при выводе формулы (3.50), и мы приходим к выражению (4.27). Плазменная формула для диэлектрической проницаемости справедлива и для газа из нейтральных атомов, если частота поля существенно выше потенциала ионизации атома.

4.3. Распространение электромагнитной волны в среде

Рассмотрим монохроматическое излучение, напряженность электрического и магнитного поля в котором представляет собой плоскую волну:

, (4.28)

, (4.29)

где и – комплексные амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей. Подставляя выражения (4.28) – (4.29) в уравнения Максвелла (4.6) – (4.7) и (4.15) – (4.16), получаем систему алгебраических уравнений для комплексных амплитуд электромагнитного поля:

, (4.30)

, (4.31)

, (4.32)

. (4.33)

Если выполняется неравенство

, (4.34)

то можно пренебречь вторым слагаемым в круглых скобках правой части равенства (4.32) по сравнению с единицей, и вместо (4.32) получаем

. (4.35)

Условие (4.34) является критерием «диэлектричности» среды, что соответствует пренебрежению током проводимости по сравнению с током смещения. В противоположном пределе, когда среда является проводником, из уравнения (4.32) находим

. (4.36)

Рассмотрим сначала случай диэлектрической среды. Исключая из уравнений (4.30) и (4.35) напряженность магнитного поля, получаем алгебраическое уравнение на комплексную амплитуду электрического поля в плоской волне:

. (4.37)

При выводе левой части этого равенства была использована известная формула для двойного векторного произведения: .

Пусть вектор напряженности электрического поля перпендикулярен волновому вектору, т.е. имеет место случай поперечного поля . Тогда уравнение (4.37) дает

. (4.38)

Отсюда получаем закон дисперсии поперечных электромагнитных волн в диэлектрической среде:

. (4.39)

Как видно из последнего равенства, волновой вектор электромагнитного поля в среде, вообще говоря, есть комплексная величина: . В дальнейшем предполагаем, что , тогда можно записать:

, . (4.40)

Здесь введены действительная и комплексная части показателя преломления среды с учетом их зависимости от частоты. Подставляя (4.40) в (4.39) и отделяя действительную и мнимую части, получаем следующую систему уравнений для действительной и мнимой частей комплексного показателя преломления:

, (4.41)

. (4.42)

Решение системы (4.41) – (4.42) имеет вид

, (4.43)

. (4.44)

Если, как это часто бывает в случае диэлектрической среды, и , то решение (4.43) – (4.44) приближенно равно

, (4.45)

. (4.46)

Итак, в случае малой величины мнимой части диэлектрической проницаемости комплексный показатель преломления среды дается приближенными равенствами (4.45) – (4.46).

Подставляя волновой вектор (4.40) в уравнение (4.30), находим для комплексной амплитуды напряженности магнитного поля:

. (4.47)

Из этого равенства вытекает соотношение между амплитудами и фазами напряженностей электрического и магнитного полей в среде.

Из равенства (4.28) с учетом выражения для волнового вектора (4.40) находим для напряженности электрического поля в плоской волне, распространяющейся в среде:

, (4.48)

где предположено, что , т.е. электромагнитная волна распространяется в положительном направлении оси . Из полученного выражения (4.48) следует, что фазовая скорость плоской волны в среде с показателем преломления равна

, (4.49)

если же , то, как это видно из формулы (4.48), исчезает зависимость фазы поля от координаты .

Поскольку интенсивность излучения пропорциональна квадрату модуля напряженности электрического поля , то для зависимости интенсивности от координаты (в направлении распространения излучения) можно получить следующее выражение:

, (4.50)

т.е. имеет место затухание излучения с коэффициентом экстинкции (extinction) , равным

. (4.51)

Случай диэлектрической среды и проводника можно рассматривать единообразно, если произвести следующую замену диэлектрической проницаемости:

. (4.52)

Для металлов справедливо неравенство, обратное к (4.34), в таком случае, принимая во внимание замену (4.52), можно считать, что

и . (4.53)

В этом случае из (4.43) – (4.44) следует

. (4.54)

Затухание электромагнитной волны при распространении в среде не обязательно связано с истинным поглощением энергии поля, чему соответствует наличие мнимой части у диэлектрической проницаемости. Коэффициент , описывающий затухание интенсивности согласно (4.50), может быть не равен нулю и при , если только . Тогда из уравнений (4.41) – (4.42) следует, что и . Такая ситуация имеет место при отражении излучения от плазмы, когда для частот диэлектрическая проницаемость плазмы является действительной отрицательной величиной (см. формулу (4.27)). Если же , то диэлектрическая проницаемость плазмы (4.27) – действительная положительная величина, так что излучение распространяется в плазме без ослабления. Такая ситуация имеет место при прохождении ультрафиолетового излучения через металлы – ультрафиолетовая прозрачность металлов. Дело в том, что в металлах вклад электронов проводимости, обладающих нулевыми собственными частотами, в диэлектрическую проницаемость как раз описывается плазменной формулой (4.27). Отражение излучения видимого диапазона от металлов связано с тем, что плазменная частота (4.27) для электронов проводимости лежит выше частотной границы видимого и ультрафиолетового спектров излучения.

Запишем выражение для вектора Пойтинга в среде:

, (4.55)

где и – действительные напряженности полей. Модуль вектора Пойтинга равен интенсивности электромагнитного излучения, т.е. количеству энергии поля, протекающему в единицу времени через единицу площади. Формула (4.55) совпадает с выражением для вектора Пойтинга в вакууме с той разницей, что в (4.55) фигурируют макроскопические поля в среде, так что связь между напряженностью магнитного и электрического полей дается формулой (4.47). Интенсивность монохроматического поля в среде с учетом сказанного равна

, (4.56)

где – действительная амплитуда напряженности электрического поля в монохроматическом излучении заданной частоты.

Вычислим дивергенцию от вектора Пойтинга (4.55), воспользовавшись уравнениями Максвелла в среде (4.6), (4.15) и формулой векторного анализа . В результате, предполагая, что свободные заряды отсутствуют, получим следующее выражение:

. (4.57)

Поскольку левая часть равенства (4.57) описывает изменение энергии электромагнитного поля за счет выхода излучения за границу выделенного объема, (что следует из формулы Гаусса-Остроградского), то правую часть равенства (4.57) можно отождествить с изменением энергии электромагнитного поля в единицу времени в единичном объеме. Иными словами, величина

(4.58)

представляет собой мгновенную мощность электромагнитного поля в единице объема, связанную с уменьшением или увеличением энергии поля.

Вычислим с помощью формулы (4.58) среднюю за период мощность, рассеиваемую монохроматическим излучением в среде. Для этого выразим действительные функции времени, фигурирующие в правой части равенства (4.58), через соответствующие комплексные величины по формуле

(4.59)

и воспользуемся формулой (4.18) для электрической индукции. После усреднения по периоду поля останутся отличными от нуля только произведения величин, содержащих комплексно-сопряженные мнимые экспоненты. В результате для мощности в единице объема получаем следующее выражение:

. (4.60)

Итак, мощность монохроматического излучения, поглощаемая в среде, пропорциональна мнимой части диэлектрической проницаемости (или восприимчивости) вещества. (Магнитные среды, в которых и , мы не рассматриваем.)

Подчеркнем, что поглощение имеет место, если . Эти неравенства всегда справедливы для термодинамически равновесной среды в силу закона возрастания энтропии. В случае же термодинамически неравновесной (инвертированной) среды данные неравенства могут иметь обратный знак, тогда электромагнитное излучение будет усиливаться средой.

Определим условия усиления излучения, когда для диэлектрической проницаемости среды справедливо выражение (4.26). Для простоты рассмотрим вклад в восприимчивость атомов одного типа. Обобщим выражение для динамической поляризуемости основного состояния атома (3.48) на случай атома, находящегося в m -м состоянии:

. (4.61)

Тогда с учетом заселенности m -го состояния атома для восприимчивости среды имеем выражение

, , (4.62)

где – полная концентрация атомов. Пусть частота электромагнитного излучения близка к одной из собственных частот атома:

, , (4.63)

причем – дипольно-разрешенный переход, т.е. . Тогда из формул (4.61), (4.62) следует выражение для резонансной восприимчивости среды:

. (4.64)

При выводе формулы (4.64) было использовано равенство

, (4.65)

которое следует из соотношения между силами осцилляторов взаимно обратных переходов: . С помощью формул (4.61) и (4.64) и выражения для силы осциллятора (3.39) находим для мнимой части резонансной восприимчивости среды:

, (4.66)

где – спектральная форма линии, которая в случае однородно уширенного перехода дается формулой (3.61).

Таким образом, условие усиления резонансного излучения в среде имеет вид

при . (4.67)

Выполнение этого критерия означает инвертированность среды, а величина называется инверсией населенности.

Отношение мощности электромагнитного излучения, выделяемой (диссипируемой) в единице объема среды, к интенсивности излучения имеет размерность обратной длины и называется коэффициентом усиления (поглощения):

. (4.68)

Заметим, что это выражение совпадает с формулой (4.51) для коэффициента экстинкции, если в нем положить , что соответствует предположению , сделанному при выводе (4.51). В резонансных условиях (4.63) с помощью формулы (4.66) находим для коэффициента усиления (поглощения) монохроматического электромагнитного поля в среде:

, (4.69)

где – сечение резонансного перехода:

. (4.70)

Таким образом, как это следует из полученных выражений (4.68) – (4.70), резонансное излучение в среде усиливается, если имеет место инверсия населенностей (4.67) на активном переходе . В противном случае, излучение будет ослабляться за счет поглощения на этом переходе.

4.4. Отражение и преломление электромагнитных волн

Рассмотрим распространение плоской электромагнитной волны через плоскую границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями и (рис. 4.1).

Как видно из рис. 4.1, волне, падающей на границу раздела сред, соответствует индекс «i», отраженной волне соответствует индекс «r» и преломленной волне – индекс «p». Поскольку граница раздела сред лежит в плоскости xy (ось y перпендикулярна плоскости рисунка), задача о распространении волны однородна в направлениях, задаваемых осями x и y. (Диэлектрическая проницаемость изменяется только вдоль оси z.) Поэтому функциональная зависимость напряженностей электрического и магнитного полей от переменных x и y одинакова во всем пространстве. В частности, если волновой вектор в падающей волне лежит в плоскости xz, то волновые векторы отраженной и преломленной волн будут лежать в той же плоскости. Таким образом, справедливы равенства

Рис. 4.1. Распространение плоской электромагнитной волны через границу раздела двух сред

. (4.71)

Из равенств (4.71) следуют (в случае прозрачных сред ) известные законы отражения и преломления:

, . (4.72)

Для z -компонент волновых векторов преломленной, падающей и отраженной волн из рис. 4.1 с учетом равенств (4.71) имеем

, (4.73а)

, (4.73б)

где диэлектрические проницаемости являются, вообще говоря, комплексными величинами.

Свяжем напряженности электрического и магнитного полей в преломленной и отраженной волнах с напряженностями соответствующих полей в падающей волне. Для этого воспользуемся граничными условиями для тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей на границе раздела сред:

, . (4.74)

Равенства (4.74) следуют из уравнений Максвелла (4.6) и (4.8), если эти уравнения переписать в интегральной форме, воспользовавшись формулой Стокса.

Разложим вектор напряженности электрического поля на две составляющие: – перпендикулярную плоскости падения xz и – параллельную плоскости падения. Рассмотрим сначала преломление и отражение излучения, поляризованного перпендикулярно плоскости падения. В случае, изображенном на рис. 4.1, перпендикулярная составляющая напряженности электрического поля направлена вдоль оси y. Тогда первое из равенств (4.74), примененное к перпендикулярной составляющей электрического поля, дает

. (4.75)

Полученное уравнение нужно дополнить уравнением для напряженности магнитного поля. Магнитное поле в плоской волне может быть выражено через электрическое поле с помощью соотношения (4.30). Тангенциальная составляющая вектора напряженности магнитного поля в геометрии рис. 4.1 направлена вдоль оси x. Поэтому второе из равенств (4.74) с помощью формулы (4.30) может быть записано в виде

. (4.76)

При записи (4.76) было учтено, что в случае перпендикулярной поляризации падающей волны отличны от нуля только y -компоненты векторов напряженностей электрического поля. Решая систему уравнений (4.75) – (4.76), находим

, , (4.77)

где выражения для z -составляющих волновых векторов излучения даются формулами (4.73). Для прозрачной среды равенства (4.72) – (4.73) и (4.77) дают

, . (4.78)

Формулы (4.78) описывают связь напряженности электрического поля в преломленной и отраженной волнах с напряженностью электрического поля в падающей волне в случае перпендикулярной поляризации.

Случай параллельной поляризации падающей электромагнитной волны удобно анализировать в терминах напряженности магнитного поля, вектор которой тогда перпендикулярен плоскости падения xz. Второе из равенств (4.74) в полной аналогии с уравнением (4.75) дает

. (4.79)

Для тангенциальных составляющих вектора напряженности электрического поля, которые в рассматриваемом случае являются x -проекциями, с помощью уравнений Максвелла можно получить

. (4.80)

С учетом соотношения (4.80) условие непрерывности тангенциальной составляющей напряженности электрического поля (первое из равенств (4.74)) дает

. (4.81)

В случае прозрачных сред формулы (4.79), (4.81) и (4.72) приводят к следующему результату:

, . (4.82)

Соотношения (4.78), (4.82) называются формулами Френеля. Они были получены в 1821 году на основании упругих представлений о свете до того, как были сформулированы уравнения Максвелла.

Введем коэффициент отражения электромагнитного излучения от границы раздела сред, который по определению равен

, (4.83)

где – интенсивность падающей и отраженной волн. Связь интенсивности и напряженности электрического поля дается формулой (4.56). В случае нормального падения излучения на границу раздела сред () для коэффициента отражения с помощью формул (4.77), (4.83) находим

. (4.84)

Если электромагнитная волна падает из вакуума () на поверхность вещества с комплексным показателем преломления , второе из равенств (4.84) дает

. (4.85)

В случае нормального падения оптического излучения на границу раздела воздух/стекло, когда , , коэффициент отражения в соответствии с формулой (4.85) равен 4%.

Коэффициенты отражения в случае наклонного падения на границу раздела для различных поляризаций излучения можно получить из формул Френеля (4.78), (4.82):

, (4.86)

. (4.87)

Данные выражения описывают зависимость коэффициентов отражения от угла падения, если учесть второе равенство в формуле (4.72). Из выражения (4.87) для коэффициента отражения параллельно поляризованного излучения следует, что если , то , и отраженная волна отсутствует. Вышеприведенное условие с помощью (4.72) можно переписать в виде

. (4.88)

Угол, определяемый равенством (4.88), называется углом Брюстера (). Таким образом, при падении излучения на границу раздела сред под углом Брюстера отраженная волна оказывается полностью поляризованной в направлении, перпендикулярном плоскости падения. При этом волновые векторы преломленной и отраженной волны оказываются взаимно перпендикулярными. Это обстоятельство позволяет дать простую интерпретацию отсутствия отраженной волн при падении параллельно поляризованного излучения под углом Брюстера. Действительно, в случае вектор напряженности электрического поля преломленной волны, поляризованной в плоскости падения, оказался бы параллелен волновому вектору отраженной волны. Но тогда преломленная волна не смогла бы вызвать переменную поляризацию во второй среде, послужившую бы источником отраженной волны, поскольку диполь не излучает в направлении вектора своего дипольного момента.

На рис. 4.2 приведены зависимости коэффициентов отражения перпендикулярно и параллельно-поляризованной волны от угла падения для двух значений относительного коэффициента преломления . Видно, что коэффициент отражения для перпендикулярной поляризации излучения всегда больше коэффициента отражения при параллельной поляризации. Таким образом, в отраженном естественном свете всегда преобладает перпендикулярная поляризация, а в преломленном излучении доминирует параллельная.

Рис. 4.2. Коэффициент отражения излучения от границы раздела сред при перпендикулярной и параллельной поляризации как функция угла падения для двух значений относительного показателя преломления: и

В случае параллельной поляризации излучения угловая зависимость коэффициента отражения имеет нулевой минимум при угле падения, равном углу Брюстера. Угол Брюстера возрастает с ростом относительного коэффициента преломления в соответствии с выражением (4.88). Так, при угол Брюстера примерно равен 63, 4 градуса, а при – 26, 6^о.

Другое важное обстоятельство, вытекающее из рис. 4.2, заключается в том, что если относительный показатель преломления меньше единицы, то существует такой угол (угол полного внутреннего отражения), определяемый равенством

, (4.89)

при котором угол преломления равен 90 градусов. Иными словами, при углах падения преломленная волна отсутствует, происходит полное внутреннее отражение. Если , то угол полного внутреннего отражения равен 30 градусам. Отметим, что для углов падения проекция волнового вектора в преломленной волне на нормаль к границе раздела – чисто мнимая величина (см. первое равенство в формулах (4.73)), и электромагнитная волна во второй среде затухает. Это затухание, однако, не связано с поглощением энергии средой, поскольку истинное поглощение энергии определяется мнимой частью диэлектрической проницаемости (4.60), которая по предположению о прозрачности сред равна нулю. Если вычислить поток энергии излучения из первой среды во вторую при наличии полного внутреннего отражения, то он окажется равным нулю. Таким образом, в данном случае действительно имеет место полное отражение падающей волны от границы раздела, при котором .

Пользуясь формулами Френеля (4.78) и (482), можно проследить изменение поляризации излучения при прохождении границы раздела сред. В тривиальном случае нормального падения поляризация не изменяется. Поляризация не изменяется также, если вектор напряженности электрического поля параллелен или перпендикулярен плоскости падения. При наклонном падении угол между плоскостью падения и вектором напряженности электрического поля увеличивается для преломленной волны и уменьшается для отраженной волны.

Из выражений (4.78), (4.82) также следует характер изменения фазы излучения при пересечении границы раздела сред. В рассматриваемом случае прозрачных сред, когда коэффициенты пропорциональности между напряженностями полей в формулах Френеля вещественны, изменение фазы может быть либо нулевым, либо равняться p в зависимости от знаков соответствующих коэффициентов в (4.78), (4.82). Коэффициент связи между напряженностью поля в падающей и прошедшей волне всегда положителен, так что фаза излучения при преломлении не меняется. При отражении фаза может измениться. Например, в случае нормального падения фаза отраженной волны изменяется на p радиан, если , и не изменяется в противном случае.

Приведенное выше рассмотрение проведено в предположении скачкообразного изменения диэлектрической проницаемости на границе раздела сред. В действительности всегда имеется переходной слой вещества конечной толщины d, величина которого порядка межатомного расстояния в средах. Таким образом, формулы Френеля справедливы при соблюдении неравенства ( – длина волны), которое выполняется в условиях применимости макроскопического подхода к описанию электромагнитного поля в среде. Если же справедливо обратное неравенство, соответствующее критерию геометрической оптики, тогда излучение может быть описано с помощью лучей, распространяющихся через границу раздела сред без отражения.

Явление полного внутреннего отражения излучения на границе раздела сред используется в оптических волокнах для передачи информации на большие расстояния, целей оптоэлектроники и передачи световой энергии. Оптическое волокно состоит из сердцевины, являющейся «проводником» фотонов, и оболочки, служащей отражателем фотонов. Показатель преломления сердцевины оптоволокна больше показателя преломления оболочки, так что при не слишком малых углах падения излучения на поверхность сердцевины изнутри имеет место полное внутреннее отражение. Таким образом, электромагнитная волна «каналируется» вдоль сердцевины оптического волокна с малыми потерями энергии. Так, в оптических волокнах на основе SiO₂ потери составляют до 0, 2 дБ/км, а полоса пропускания

до 100 ГГц/км.

Наряду с оптоволокном в последнее время в технических приложениях используются фотонные кристаллы – материалы с периодическим изменением диэлектрической проницаемости среды на расстояниях порядка длины волны излучения в оптическом и ближнем инфракрасном диапазонах. Распространение электромагнитной волны в таких периодических структурах сопровождается отражением от плоскостей симметрии вещества подобно тому, как это происходит с электронами в кристаллах. В результате возникают «фотонные запрещенные зоны», т.е. диапазоны длин волн, порядка периода структуры фотонного кристалла, в которых невозможно распространение электромагнитного излучения. Таким образом, фотонный кристалл, прозрачный для широкого спектра электромагнитного излучения, оказывается непрозрачным в спектральном диапазоне, определяемом структурой кристалла. Фотонные запрещенные зоны – оптический аналог электронных запрещенных зон в полупроводниках. Наличие запрещенных зон позволяет использовать фотонный кристалл как волновод. Для этого внутри фотонного кристалла нужно создать волноводную полость, по которой может распространяться излучение. Если частота излучения лежит в фотонной запрещенной зоне, то оно не сможет покинуть пределы полости, поскольку в окружающей среде распространение электромагнитной волны невозможно. Такого рода волновод имеет определенные преимущества перед оптоволоконным волноводом. Действительно, если оптическое волокно согнуть под прямым углом, то угол падения излучения из вещества сердцевины на оболочку оптоволокна будет слишком мал, и потери излучения значительно возрастут. Этого не произойдет при распространении электромагнитной волны по фотонно-кристаллическому волноводу, который будет удерживать излучение при любых углах изгиба.

Помимо наличия запрещенных зон, фотонные кристаллы имеют ряд новых свойств по сравнению с традиционными оптическими материалами, что позволяет их использовать в качестве высокоэффективных светодиодов, трехмерных зеркал с высокой отражающей способностью и т. д. Одномерные фотонные кристаллы известны уже достаточно давно. К ним относятся различного рода многослойные покрытия, используемые в качестве диэлектрических зеркал и фильтров. Простейшим примером такого рода является брэгговский отражатель, представляющий собой последовательность пары плоскопараллельных пластин с толщинами и показателями преломления . Пространственный период брэгговского отражателя равен

. (4.90)

Для получения условия отражения электромагнитной волны удобно ввести средний показатель преломления брэгговского отражателя по формуле

. (4.91)

Условие отражения Брэгга для плоской световой волны, падающей на отражатель Брэгга по нормали к его поверхности, имеет вид

, (4.92)

где – модуль вектора обратной решетки среды отражателя, а

(4.93)

– эффективный волновой вектор излучения в среде брэгговского отражателя. При записи формулы (4.92) учтено, что отражение излучения, падающего по нормали к границе раздела сред, сопровождается изменением знака проекции волнового вектора на нормаль.

Равенства (4.90) – (4.93) дают следующее условие на частоту эффективного отражения:

. (4.94)

Вблизи этой частоты коэффициент отражения рассматриваемой слоистой структуры равен единице.

Брэгговское отражение можно интерпретировать как появление фотонной запрещенной зоны в одномерном фотонном кристалле, о чем говорилось выше. Спектр отражения света от брэгговского отражателя вместе с некоторыми другими связанными с ним зависимостями представлены на рис. 4.3. Этот рисунок, а также формулы (4.90) – (4.94) взяты из статьи М. Калитеевского, помещенной на интернет-сайте [11].

Из выражения (4.94) вытекает, что положение фотонной запрещенной зоны определяется периодом фотонного кристалла. В структуре с периодом один сантиметр фотонная запрещенная зона может возникнуть для частоты порядка 10 ГГц, фотонный кристалл для видимого диапазона должен иметь период порядка 100 нм, а обычный кристалл (например, NaCl) является фотонным кристаллом для рентгеновского излучения.

В заключение отметим, что большой интерес к использованию фотонных кристаллов стимулируется бурным развитием технологий создания искусственных структур с размерами, лежащими в диапазоне длин волн видимого и инфракрасного излучения.

Рис. 4.3. Спектр отражения электромагнитного излучения от брэгговского отражателя (1-я (левая) четверть рисунка). Профиль поля электромагнитной волны в толще брэгговсого отражателя (вставка). Дисперсионная зависимость для света в брэгговском отражателе (2-я четверть рисунка). Тонкой линией показана дисперсия свободного фотона. Спектральная зависимость мнимого волнового вектора в области фотонной запрещенной зоны (3-я четверть рисунка). Спектр плотности фотонных состояний в брэгговском отражателе (4-я четверть рисунка)