Метод частных производных

Пусть интересующая нас величина y является некоторой функцией других величин x_l, x₂, x₃ и т.д., так что

у = ƒ (x_l, x₂, x₃...) (13)

причем величины x_l, x₂, x₃... мы можем измерять путем прямых измерений. В этом случае мы для определения величин и ∆ сначала измеряем все величины, от которых зависит у (x_l, x₂, x₃...) по методике, изложенной в предыдущем параграфе. В результате чего определяем , а также полные погрешности, в определении этих величин, которые обозначим как Наилучшее (среднее) значение косвенно определяемой величины у находится при подстановке в (13) наилучших (средних) значений

(14)

Для определения полной абсолютной погрешности величины у необходимо выяснить, как изменяется эта величина при относительно небольших изменениях всех величин, от которых зависит величина у. Это можно сделать с помощью полного дифференциала. Интересующее нас изменение величины

(15)

где - обозначают частные производные от функции f по соответствующим переменным. Эти частные производные вычисляются при наилучших (средних) значениях и т.д.

От бесконечно малых изменений величин dу, dx_l, dx₂, dx₃... в (15) перейдем к конечным значениям их изменений (погрешностям) ∆ у, ∆ x_l, ∆ x₂, ∆ x₃...

(16)

где ∆ y - искомая полная погрешность величины - значения соответствующих частных производных, вычисленных при наилучших (средних) значениях входящих в них величин; ∆ x_l, ∆ x₂, ∆ x₃... - полные погрешности определения соответствующих величин. Также необходимо в (16) заменить знаки '-' между слагаемыми на знаки '+', поскольку формула (16) является оценкой абсолютной погрешности по максимуму (по наихудшему случаю, когда все ошибки складываются).

Под частной производной функции ƒ (x, y, z) по переменной X понимают величину:

(17)

т.е. это производная, которая вычисляется в предположении, что все переменные, кроме той, по которой берется производная, являются постоянными величинами. Например: пусть . Тогда

После вычисления абсолютной ошибки ∆ у по формуле (16) находят относительную ошибку как

(17)

Этот способ удобен в том случае, когда представляет собой алгебраическую сумму.