Пример 4.

Максимизировать f ₁(x) = x ₁ + 4 x ₂ (7)

Минимизировать f ₂(x) = 3 x ₁ – x ₂ (8)

при ограничениях

Допустимое множество решений задачи R(x) представлено на рис 10. в виде многоугольника ABCDE.

Рис.10

Нетрудно получить графически оптимальное решение этой задачи по критерию f ₁(x). Оно находится в точке С(x ₁ = 6; x ₂ = 7).

Ему соответствует f ₁ = f (x ₁ = 6; x ₂ = 7) = 34.

Минимальное значение будет в точке E(x ₁ = 3; x₂ = 0, 5), f _1min = 5.

По второму критерию f ₂(x) оптимальное решение будет в точке B(1, 4) ему соответствует , а наихудшее значение критерия f ₂(x) – в точке D(5, 2): . Отрезок BC представляет собой эффективный план.

Рассмотрим случай, когда критерии равноценны, то есть , и будем искать компромиссное решение, обеспечивающее минимальные одинаковые относительные потери. Функции относительных потерь равны

, (9)

.

Запишем эквивалентную задачу ЛП:

минимизировать

при условиях

(10)

(11)

(12)

После элементарных преобразований приводим эту задачу к виду:

минимизировать

при условиях

(13)

(14)

Данная задача имеет n = 3 переменных и m = 7 ограничений. С целью упрощения поиска оптимального решения, поскольку m > n, воспользуемся переходом к двойственной задаче, сопряженной к (12) - (14). Она имеет такой вид:

Максимизировать

при условиях

Будем решать ее симплекс-методом.

В результате получим оптимальное решение многокритериальной прямой задачи.

Этому решению соответствует точка F на отрезке ВС (рис. 10.). Ему соответствуют минимальные относительные потери и отклонение от оптимального значения на обоих критериях:

,

.

Задание 1. Самостоятельно сформулировать многокритериальную задачу и решить ее методом идеальной точки.

Задание 2. Проверить решение примера 4 методом ограничений (используя симплекс –метод).