Й замечательный предел

где аргумент х измеряется в радианах

Из первого замечательного предела следует эквивалентность при х → 0 следующих бесконечно малых величин: ах, sin ax; tg ax; arcsin ax; arctg ax. Это означает, что предел отношения двух любых из этих функций при х → 0 равен 1.

4. Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при (если этот предел существует и конечен), т.е.

Физический смысл. Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .

Геометрический смысл. Пусть – некоторая кривая, – точка на кривой . Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.
Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точка стремится к , двигаясь по кривой. Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная

5. Производная любой элементарной функции.