Дифференцирование сложной функции

Тема 1. Дифференциальное исчисление

Определение1.1: Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

Определение 1.2. Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.

Таблица производных

Часто применяемые свойства для преобразования функций:

и

Примеры решения задач. Найти производные следующих функций

Пример 1:

+

Пример2:

Пример 3:

Дифференцирование сложной функции

Пусть y= y(u), где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция.

Производные сложных функций находятся при помощи таблицы:

Рассмотрим примеры.

Пример 1: Найти производную функции

Решение: =

Пример 2: Найти производную функции

Решение:

=

+