Теорема визначника по елементах довільного рядка, стовпця

Теорема. Який би не був номер рядка (), Для визначника -Го порядку справедлива формула , Звана розкладанням цього визначника по -Ої рядку.
Неважко помітити, що в цьому формулюванні ступінь за (-1) дорівнює сумі номерів рядка та стовпця, на перетині яких стоїть елемент .
Доведемо цю теорему для . У цьому випадку може бути одно тільки 2, так як входить в основне визначення величини визначника. Отже:
.
Отримане вираження збігається з тим, яке було надане у визначенні, отже, для визначника 2-го порядку теорема доведена.
Для довільного дана теорема доводиться методом математичної індукції.
Отже, показано, що визначник може бути розкладений по будь-якому рядку. Виникає питання, а чи не можна зробити те ж саме, використавши довільний стовпець.
Теорема. Який би не був номер стовпця (), Для визначника -Го порядку справедлива формула , Звана розкладанням цього визначника по -Му стовпцю.
Доведемо теорему для :
.
Цей вираз дорівнює величині визначника, введеної за визначенням.
Отже, на підставі теорем можна сказати, що для обчислення визначника -Го порядку необхідно його розкласти по довільному рядку або стовпцю.
На закінчення введемо ще одне визначення.