Виды матриц

Ответы на билеты высшей математики

1. Ма́ трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Виды матриц

Введем понятие матриц: квадратных, диагональных, единичных и нулевых.

3. Определение матрицы квадратной: Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n× n.

4. В случае квадратной матрицы вводятся понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

5. Понятие диагональной матрицы: Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.

6. Понятие единичной матрицы: Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали. Понятие нулевой матрицы: Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю. Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое количество строе и одинаковое количество столбцов и их соответствующие элементы равны). Так, если то А=B, если a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22

2.Транспонирование матриц: -А. называется переход от матрицы А к матрице А, в которой строки, столбцы поменяются местами.

Транспонирование матриц

Свойства:

Задание. Найти матрицу , если

Решение.

Ответ.

Свойства операций сложения, вычитания и умножения матриц на число:

Сложение матриц
Суммой матриц и одинаковых размеров называется матрица тех же размеров, у которой Обозначение: C = А + В.

3.Умножение матриц на число:

Произведение матрицы А на число С называется матрица В, все элементы которой получаются путем умножения соответствующих элементов матрицы А на число С.

В=А*с=с*А

Пример:

Произведение матриц:

Произведение матриц А и В называется матрица С (С=А+В), где элемент

Сij=ai*b1j+ai2*b2j+…+aik*bk

4. Элементарные преобразования строк и столбцов матриц.