Синтез линейной системы автоматического регулирования по логарифмическим частотным характеристикам

3.1 Построение желаемых логарифмических характеристик

Желаемой называют асимптотическую ЛАЧХ L_ж(w) разомкнутой системы, имеющей желаемые (требуемые) статические и динамические свойства. Желаемая ЛАЧХ (рисунок 11) состоит из трёх основных асимптот: низкочастотной, среднечастотной и высокочастотной. Кроме того, могут быть сопрягающие асимптоты, которые соединяют основные.

Построение желаемой ЛАЧХ производится на основании требований к системе. Низкочастотная часть этой характеристики обуславливает точность воспроизведения медленно изменяющихся воздействий. По её виду можно найти добротности по скорости и ускорению и статическую ошибку системы. Низкочастотный участок (рисунок 11) для астатических систем (неизменяемая часть системы L₀(w)) должен иметь наклон –20n дб/дек (где n – число интегрирующих звеньев в системе, в нашем случае n = 1) и при w = 1 ординату, равную 20lgK (для нашего случая 20lgK=23.03, где К = 14.175).

Среднечастотная асимптота ЛАЧХ разомкнутой системы и её сопряжение с низкочастотной определяют динамические свойства системы – устойчивость и показатели качества переходной характеристики.

Построение среднечастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ начинаем с выбора частоты среза w_СР по номограмме составленной В.В.Солодовником ([1], страница 272), которая определяет зависимость перерегулирования s и времени регулирования t_Р от максимума Р_MAX вещественной частотной характеристики замкнутой системы, причём время регулирования t_Р дано в виде функции частоты среза w_СР.

По заданному значению перерегулирования s = 25% определяем значение Р_MAX = 1, 18. Затем по Р_MAX определяем соотношение между t_Р и w_СР:

.

с^-1.

Среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ проводится через точку w_СР с наклоном -20дб/дек. При большем наклоне трудно обеспечить необходимый запас устойчивости и допустимое перерегулирование.

Проводим прямые с ординатами +∆ L и -∆ L (пунктирными линиями на рисуноке 11). Затем после построения среднечастотной асимптоты (наклон –20 дб/дек) наносим сопрягающую асимптоту с наклоном –40 дб/дек, начиная её из точки среднечастотной асимптоты с ординатой ∆ L = 20 дб.

Высокочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ мало влияет на свойства системы, поэтому выбираем (наклон –40 дб/дек) её так, чтобы корректирующее устройство было возможно более простым. Это достигается при совмещении высокочастотных асимптот характеристик L_ж(w) и L₀(w).

Рисунок 10 - Построение желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего устройства

3.2 Определение передаточной функции желаемой ЛАЧХ

По виду желаемой ЛАЧХ L_ж(w) составляем передаточную функцию разомкнутой скорректированной системы:

, (3.2.1)

где

. (3.2.2)

По формуле (3.2.2) определяем постоянные времени Т_а, Т_в, Т_е, Т_f

Т_а = 1.724, Т_в = 0.017, Т_е = 4.651, Т_f = 0.01

Подставив в формулу (3.1.1) коэффициенты получим

.

Проверяем избыток фазы при контрольных частотах w_а = 0.58 с^-1,

w_СР = 5.9 с^-1 и w_b = 58 с^-1 (рисунок 11) по следующей формуле:

∆ = π + , (3.1.3)

где ,

< 0.

Проверяют запас устойчивости Δ φ _ж (ω _а) и Δ φ _ж (ω _в) на частотах ω _а и ω _в, граничных частотах среднечастотного диапазона.Еслиусловие Δ φ ≥ Δ φ _min (Δ φ _min=50⁰=0, 873 рад) выполняется, то система имеет требуемый запас по фазе, и выполненное сопряжение асимптот желаемой ЛАЧХ принимается.

,

рад,

∆ ( _а) = 1, 115 рад,

∆ ( _а) > ∆ _min.

,

∆ ( _b) = -0, 532 рад,

∆ ( _b) < ∆ _min.

Условие запаса устойчивости выполняется только для частоты .Тогда проверим выполнение данного условия на частоте среза .

Подставив численные значения, получим , условие выполняется, значит, вопрос о коррекции желаемой ЛАЧХ, решаем на основе оценки качества системы.

3.3 Расчет переходного процесса по вещественной частотной

характеристике методом трапеций

Наиболее известным методом определения переходных процессов является метод построения кривой переходного процесса с помощью трапецеидальных вещественных частотных характеристик АСР.

1) Записываем передаточную функцию замкнутой системы на основе передаточной функции скорректированной разомкнутой системы

,

.

2) Вычисляем коэффициенты этой передаточной функции:

,

где ;

;

;

;

;

;

;

.

Передаточная функция скорректированной замкнутой системы с учётом найденных коэффициентов имеет следующий вид:

.

3) Выделяем вещественную частотную характеристику замкнутой системы, произведя следующую подстановку:

,

.

Записываем значения вещественной и мнимой части для полиномов числителя и знаменателя частотной передаточной функции замкнутой АСР:

,

где ;

;

;

.

Записываем значение вещественной частотной характеристики для замкнутой системы:

,

.

Задавая значения 0 < w < 70 (таблица 6), строим вещественную частотную характеристику (рисунок 11).

Таблица 6 – Значения вещественной характеристики

Рисунок 11 – Вещественная частотная характеристика

Рисунок 12 – Увеличенный участок ВЧХ

4) Разбиваем вещественную частотную характеристику на трапеции. Для этого кривую вещественной характеристики заменяем приближенно трапециями (рисунок 13 – 14) с учетом следующих правил:

- разбивка кривой на прямолинейные участки должна с возможно меньшей погрешностью повторять ход кривой;

- все трапеции и треугольники должны иметь одну сторону, расположенную на оси ординат;

- сумма площадей трапеций и треугольников должна приблизительно равняться площади, ограниченной кривой вещественной частотной характеристики с учетом знаков отдельных площадок расположенных выше и ниже оси абсцисс;

- более тщательно необходимо аппроксимировать начальную часть вещественной частотной характеристики. Ее конечную часть с ординатами, меньшими по абсолютному значению, чем 0.1Р(w = 0).

Рисунок 13 – Разбиение ВЧХ на трапеции

Рисунок 14 – Разбиение ВЧХ на трапеции

5) Определяем параметры каждой трапеции (таблица 7): находим частоты w_oi и w_аi и значение высоты р_i. По значениям w_oi и w_аi вычисляем коэффициенты наклона c_i=w_di/w_ni и округляем его до ближайшего из значений 0; 0.05; 0.10; …; 0.95; 1. Величину р_i принимаем положительной, если меньшая параллельная сторона трапеции расположена выше большей, и отрицательной - в противоположном случае.

Рисунок 15 – Трапеция № 1

Рисунок 16 – Трапеции № 2, 3, 4, 5

Таблица 7 – Таблица h-функций

Продолжение таблицы 7

6) По параметрам трапеции определяем составляющие переходной характеристики. Для каждой трапеции в таблице h – функций ([1], страница 222) отыскиваем столбец, соответствующий значению коэффициента наклона c. Для ряда значений условного времени t определяем соответствующие им значения h(t). По значениям t и h(t) вычисляем значение действительного времени и соответствующие h_i переходной характеристики:

; (3.1.12)

Полученные значения t и h_i заносим в таблицу 7.

7) Строим графики составляющих переходной характеристики (рисунок 17).

Рисунок 17 - Графики составляющих переходной характеристики

8) Строим график переходной характеристики (рисунок 18). Ординаты переходной характеристики определяем суммированием ординат составляющих в выбранные моменты времени.

Рисунок 18 - График переходной характеристики