Модель диэлектрического континуума

Для полярных колебаний кристаллов, при которых возникает поляризация среды P и продольное электрическое поле E, уравнения для колебаний нанокристалла можно получить, используя классическую макроскопическую модель с учетом уравнений Максвелла. Такая модель рассматривалась в работе Клейна и была применена для полупроводниковых нанокристаллов CdSe сферической формы. Смысл такой модели понятен из рис. 82. Рассмотрим полупроводниковую сферу радиуса R с диэлектрической постоянной ε, окруженную веществом с диэлектрической проницаемостью ε _d.

Рис. 82. Схематическое изображение локализованного фонона и граничных условий для смещений u (r)и потенциала ф (r)в модели диэлектрического континуума.

Используем следующие уравнения:

,

где D, E, P, и φ соответственно электрическое смещение, электрическое поле, поляризация и потенциал. Из этих уравнений получаем:

Существуют два типа решений этого уравнения. Первое соответствует ε = 0. Для диэлектрической проницаемости можно написать выражение:

,

где ε _∞ диэлектрическая постоянная при высоких частотах, w _LO и w _TO – собственные частоты, удовлетворяющие соотношению Лиддейна-Сакса-Теллера:

,

где ε ₀ – стационарная диэлектрическая постоянная. Случай, когда ε =0 соответствует LO модам собственной частоты w _LO. Собственные функции могущт быть разложены по ортонормированному базису , где используются сферические координаты. Здесь сферические функции Бесселя порядка l, – сферические гармоники. Таким образом:

.

Обратное преобразование имеет вид:

Граничными условиями будут непрерывность φ и нормальной компоненты вектора D на границе раздела, т.е. для LO фононов φ будет уменьшаться до нуля на границе раздела, и вне сферы будет равняться нулю. Возможные решения отвечают таким k, для которых при любых l, m выполнено равенство

J_l (k, R) =0.

Эти k зависят от l и определяются соотношениями

k=a_{n, l} /R,

где a_{n, l} – n -ый нуль сферической функции Бесселя порядка l. Используя выражение J_l (k, R) =0, получаем выражение для константы B_k

При l =0 она будет равна

,

где k=nπ /R (n =1, 2, 3…).

Это рассмотрение в силу нулевых смещений на границе соответствуют случаю механического конфаймента. Решение уравнения ε Dφ =0, соответствующее e = 0, является наиболее общим описанием механического конфайнмента, где используется разложение потенциала по сферическим гармоникам и нулевые смещения на интерфейсе.

Однако существует и другое решение уравнения ε Dφ =0, отвечающее условию Df =0. Оно возникает в приближении диэлектрического континуума только для полярных мод, которые вызывают появление макроскопического поля. Данное уравнение дает поверхностные SO (или интерфейсные IF) моды. Возможные решения имеют вид:

Граничные условия, вытекающие из равенства нормальных составляющих электрического смещения D в двух средах, приводят к соотношению ε grad (φ) = const, и имеют вид:

.

Дискретные частоты SO мод в приближении диэлектрического континуума для кристалла CdSe с использованием известных значений e_d, e_∞ , w _LO, w _TO приведены в табл. 9.

Рис. 83. Схематическое построение контура линии фундаментального колебания нанокристаллов CdSe с использованием модели диэлектрического конфайнмента.

Таблица 9.

Частоты поверхностных (интерфейсных) мод в нанокристаллах CdSe в стеклянной матрице в см^–1.

	2.25
	6.1

Из таблицы видно, что с изменением l (l= 1, 2, 3…) значения собственных частот SO мод пробегают интервал от 194 до 200 см^–1.

Значения интерфейсных мод также можно получить, рассматривая, как и сверхрешетке среднюю диэлектрическую проницаемость среды, представляющей нанокросталлы полупроводника в стеклянной матрице. Выражение для диэлектрической проницаемости такой структуры легко получить, используя уравнения Рытова для слоевой среды, которые описывают полярные колебания гетероструктуры в приближении диэлектрического континуума. Для бесконечной среды, состоящей из чередующихся слоев толщины d ₁ и d ₂ с диэлектрической проницаемостью e ₁ и e ₂, решения этих уравнений приводит к следующим выражениям. Эффективная усредненная диэлектрическая постоянная в плоскости слоев e _{x, y} и в направлении, перпендикулярном слоям e _z, равна:

e_{x, y}=d^{– 1}(d ₁ e ₁ +d ₂ e ₂)

e_z=de ₁ e₂ (d ₁ e ₂ +d₂e ₁) ^{– 1},

где d=d ₁ +d ₂.

Для среды, состоящей из сферических нанокристаллов в стекловидной матрице, средняя диэлектрическая проницаемость равна:

,

где e₀, e ₁ – диэлектрические проницаемости матрицы и кристалла, а d ₀, d ₁– расстояние между кристаллическими включениями и их размер соответственно. Случай, когда диэлектрическая проницаемость среды равна нулю, возможен при равенстве нулю диэлектрических проницаемостей ε ₀ или e ₁ т. е. соответствует LO модам квантовых точек, так как LO моды матрицы в данной области частот отсутствуют. Диэлектрическая проницаемость равна бесконечности при выполнении условия

,

что отвечает TO модам, положение которых зависит от d ₁/ d ₀.