Модель механического континуума

В модели механического континуума предполагается ограничение механического смещения атомов вблизи интерфейса. В работе Рихтера предложена следующая модель пространственного ограничения фононов, смысл которой понятен из рис. 79.

Волновая функция фонона с волновым вектором q₀ в бесконечном кристалле имеет вид функции Блоха:

ф (q_o, r)= u (q_o, r) exp i (q_o, r),

где u (q_o, r) имеет периодичность решётки.

Рис. 79. Схематическое изображение локализованного фонона и граничных условий для смещений u (r)и потенциала ф (r) в модели механического континуума.

Если фонон ограничен сферой диаметра R, волновую функцию фонона можно представить в виде:

Ψ (q_o, r)= W (r, R) ф (q_o, r) = Ψ ´ (q_o, r) u (q_o, r),

Ψ ´ (q_o, r)= W (r, R) exp i (q_o, r),

где функция W (r, R) описывает конфайнмент и может быть выбрана различными способами. Волновую функцию Ψ ´ (q_o, r) ограниченного фонона можно выразить через интеграл Фурье

Ψ ´ (q_o, r)=∫ C (q_o, q) exp i (q_o, r) d ³ q,

где Фурье-коэффициенты C (q_o, q) даются обратным преобразованием Фурье, т. е. выражением

Таким образом, волновая функция ограниченного фонона является результатом суперпозиции плоских волн с волновыми векторами q вблизи q₀. Следовательно, в колебательном спектре должны присутствовать частоты с различными волновыми векторами, а спектральная линия будет образована суперпозицией гармоник. Для описания каждой гармоники удобнее всего взять лоренцево распределение, так как это наиболее простой и удобный способ, позволяющий учесть затухание фонона. Тогда форма линии, наблюдаемой в спектре комбинационного рассеяния, будет складываться из лоренцианов с центрами на частотах w (q) с весовыми множителями, которые задаются типом локализации фонона:

,

где w (q) – дисперсионная зависимость фонона, Г ₀ – действительная ширина линии, а интегрирование ведётся по всей зоне Бриллюэна. Имеются физические предпосылки для использования в качестве аподизирующей функции использовать гауссиан, так как он в какой то мере отражает распределение наночастиц по размерам. В таком случае для гауссова распределения W (r, R) = exp[– (ar ²/ R ²)], получаем │ C (0, q)│ ²= exp[– (q ² R ²/4)], (значение коэффициента a = 4 π ² получено при анализе контуров рамановских линий для ряда нанокристаллических полупроводников).

Тогда в приближении сферической зоны Бриллюэна

.

Множитель 4 p q ²появляется после интегрирования по углам, т. е. является следствием приближения сферической зоны Бриллюэна. Построение спектральной линии, а также вклад отдельных гармоник помогает понять рис. 80.

Рис. 80. Вклад внутризонных колебательных мод в спектральную линию колебаний нанокристалла. Данный рисунок состоит из двух зависимостей, объединенных по оси частот. Первая из них (в левой части) образована горизонтальной шкалой интенсивностей и вертикальной школой частот; на ней изображена спектральная линия – результат суммирования отдельных мод в соответствии с весами. Спектральная линия образована суперпозицией отдельных гармоник, суммирование которых производится в соответствии с весовыми множителями. Вторая часть рисунка образована горизонтальной шкалой волновых векторов и общей вертикальной шкалой частот. На ней построена весовая функция, позволяющая увидеть вклад каждой гармоники, и дисперсионная зависимость оптической ветви. На рисунке под цифрой 1 показана зависимость, стоящая в числителе подынтегрального выражения и определяющая мощность отдельных гармоник, т. е. является огибающей весовых множителей. Под цифрой 2 изображена дисперсионная зависимость ω = ω ₀+ ω /2cos[(π /aN) pa ], оптической фононной ветви с шириной 2 ω, которая является следствием модели, выбранной для описания колебаний. Вертикальные линии соответствуют дискретным значениям волнового вектора q =(π /aN) p, горизонтальные – возможным частотам колебаний.

В случае кристалла малых размеров волновой вектор принимает ряд дискретных значений, и интеграл заменяется суммой. В колебательном спектре можно ожидать ряд линий на дискретных частотах, определяемых дисперсией соответствующей оптической ветви. Вид спектральной линии в этом случае зависит от размеров нанокристалла. На рис. 81 показана зависимость формы линии отразмеров нанокристалла и величины затухания для одномерной модели (цепочка атомов).

Рис. 81. Контур спектральной линии в зависимости от размеров модели нанокристалла (слева) и величины затухания ω ₀.(справа) Размеры цепочки варьируются от 5-ти элементарных ячеек (сплошная линия) до 9 (прерывистая линия), т. е. N =5, 7, 9. При этом величина затухания составляет ω ₀ =5 см^–1. Величина затухания (правый рисунок) принимает значения от ω ₀=3см^–1 (прерывистая линия) до ω ₀=5см^–1 (сплошная линия), т. е. ω ₀ = 3, 4, 5 см^–1. В этом случае размер цепочки составляет 5 элементарных ячеек.