Сложенные (folding modes) акустические моды

Ясно, что оптические ветви механических колебаний кристалла весьма похожи на электронные зоны. Энергия, например, изменяется квадратично с волновым вектором k около критических точек, включая и точку Г (т.е. центр зоны Бриллюэна) и границу зоны Бриллюэна. Акустические ветви, однако, имеют другой вид: в любом материале частоты механических колебаний стремятся к нулю при k =0. Последнее является результатом того, что акустический фонон с k =0 (т.е. бесконечной длиной волны) соответствует однородной трансляции кристалла. При такой трансляции не возникает возвращающей силы, поскольку расстояния между атомами не изменяются. Другая особенность, характерная для акустических фононов, заключается в том, что их дисперсия вблизи Г линейна (а не квадратична) по k, причем тангенс угла наклона дисперсионной кривой равен скорости звука в кристалле. На рис. 53 приведены рассчитанные дисперсионные кривые для фононов в кристаллах GaAs и AlAs, которые являются наиболее типичными представителями структур поглупроводников A₃B₅.

Легко понять особенности распространения акустических и оптических колебаний. Акустические колебания двух кристаллов всегда имеют общий спектральный интервал частот от нуля до дебаевской частоты (ω _D = v _звука π / a). Поэтому акустические волны будут распространяться как в одном, так и в другом материале со скоростями, соответствующими скоростям в конкретном кристаллическом слое. При этом, при распространении возбуждения определенной частоты длина волны в каждом материале будет своя, поскольку λ = v _звука/ ω.

Подобные особенности дисперсии акустических фононов обычно препятствуют их квантованию. В обоих материалах в диапазоне частот от нуля до максимальной частоты того материала, который является более мягким в смысле упругости, механические волны будут распространяться без затухания. В системе GaAs/AlAs (см. рис. 53) максимальные акустические частоты обоих компонент почти одинаковы, поэтому едва ли существует диапазон частот, в котором распространяющиеся акустические моды существовали бы только в одном из двух материалов.

Рис. 53.Дисперсионные кривые для распространения механических волн в кристаллах GaAs и AlAs. Рисунок содержит 3 области волновых векторов, для которых построены зависимости частот колебаний механической волны. Область с действительными значениями волнового вектора q представляет собой область собственных колебаний. Смещения здесь происходят периодично и равны: u_n = Ae^ikan Область справа от первой представляет собой область затухающих волн с комплексным волновым вектором k = π /a + ia. Смещения здесь равны: u_n= Ae^{iπ n} e^–an. В области левее от действительных волновых векторов существуют только затухающие колебания с чисто мнимым значением волнового вектора k=ia. Мнимая часть волнового вектора показывает, насколько быстро происходит затухание колебаний в запрещённых областях частот. Для этих кристаллов области акустических колебаний перекрываются, в то время как частотные области оптических колебаний не перекрываются. Таким образом, оптические колебания каждого из кристаллов в гетероструктуре (сверхрешетке) не будут распространяться в другом кристаллическом слое.

В пределах применимости теории упругости акустические фононы в сверхрешетках соответствуют упругим волнам, распространяющимся с дисперсией ω = v_звука k, где v_звука – средняя скорость звука для двух сред (см. рис. 54). Если k направлен вдоль оси роста сверхрешетки, состоящей из повторяющихся слоев среды А с толщиной d_A и среды В с толщиной d_B (период d = d_A + d_B), легко найти эту среднюю скорость. Время распространения вдоль z на расстояние периода d равно t = d_A/v_A + d_B/v_B, где v_A – скорость звука в среде A, а v_B – скорость звука в среде B. Поэтому средняя скорость звука равна v_звука=d/t=d (d_A/v_A+ d_B/v_B)^–1.

В отличие от акустических волн оптические моды в сверхрешетке GaAs/AlAs (рис. 53) образуют узкие зоны разрешенных частот с центром около 280 см^–1 в GaAs и 380 см^–1 в AlAs. В области некоторых частот, соответствующих оптическим модам в GaAs, распространяющиеся моды в AlAs отсутствуют. Вследствие этого должны возникать эффекты квантования, аналогичные эффектам квантования электронов. Однако, в отличие от случая электронов, из рис. 53 понятно, что имеются моды, распространяющиеся в одном из двух материалов, но не распространяющиеся в другом: т.е. существуют GaAs-подобные моды, для которых слои AlAs ведут себя как барьеры, и AlAs-подобные моды, для которых подобно барьерам ведут себя слои GaAs.

Рис. 54. Средняя дисперсионная кривая акустических продольных волн в сверхрешетке GaAs/AlAs.

Такие квантованные оптические моды широко изучались в последние годы. На рис. 55 приведены дисперсионные кривые для кристаллов GaAs и AlAs для различных направлений распространения фононов в кристалле. Рассматривая рисунок, легко установить в каких направлениях могут распространяться фононы при непосредственном контакте этих двух кристаллов.

Рис. 55. Дисперсионные кривые (сплошные линии) для объемных кристаллов GaAs (сверху) и AlAs (снизу). Наблюдается сильное перекрытие частот их акустических мод, в отличие от оптических мод, для которых перекрытие отсутствует. Ромбики соответствуют эксперимен­тальным данным для GaAs.

Для того, чтобы проиллюстрировать эффекты распространения механических волн гетероструктуре в наиболее простом случае, рассмотрим сверхрешетку с периодом, состоящим из двух слоев элемента А с атомной массой m _A и двух слоев элемента В с массой m _B (например, Si и Ge). Элементарная ячейка такой периодической структуры показана на рис. 56. Мы будем рассматривать только моды, распространяющиеся вдоль оси роста, и предположим, что возвращающие силы существуют лишь между соседними плоскостями с одной и той же силовой постоянной β, например, между плоскостями Ge-Ge, Ge-Si и Si-Si.

Уравнения движения для фононов с волновым вектором k, распространяющихся вдоль оси сверхрешетки, параметра которой заданы на рис. 56, тогда имеют вид:

– m_Aω ²u_Bn = – β [(u_Bn – u_An+1) + (u_Bn – u_Anе ^{– idk})],

– m_Bω ² u_An+1 = – β [(u_An+1 – u_Bn+1) + (u_{An+ 1}– u_Bn)],

– m_Bω ² u_Bn+1 = – β [(u_Bn+1 – u_An+1) + (u_Bn+1 – u_An+2)],

– m_Aω ²u_An = – β [(u_An – u_Bn–1) + (u_An – u_Bne^idk)].

Для того, чтобы эта система однородных линейных уравнений (относительно смеще­ний u_Bn, u_An+1, u_Bn+1, u_An пар атомов в слое с массами m_A и m_B) имела ненулевые решения, ее определитель должен быть равен нулю. Последнее условие приводит к секулярному уравнению четвертой степени относительно ω ² для произвольного волнового вектора k. Его можно разбить на два квадратных уравнения, которые нетрудно решить алгебраически для центра зоны Бриллюэна (ЗБ) с k = 0 и для k на границе так называемой зоны Бриллюэна (k = π / d). Поскольку период сверхрешетки, составленной из двух слоев типа А и двух слоев типа В равен d=2 (a ₁ +a ₂), зона Бриллюэна для гетероструктуры уменьшается по сравнению с зоной Бриллюэна для объемного кристалла в d/a раз и носит название мини-ЗБ.

Рис. 56. Одномерная сверхрешетка, составленная из двух слоев атомов элемента A и двух слоев элемента B. 1 – вид гетероструктуры A₂B₂ – модель одномерной решетки гетероструктуры. 3 – смещения слоев: u_An, u_An+1 – слой A; u_Bn, u_Bn+1 – слой B.

Четыре разрешенных частоты при k = 0 включают ω ² = 0 (акустические моды сверхрешетки) и еще три частоты:

ω ² = β (1/ m_A+ 1 /m_B)

ω ² = β / 2 m_Am_B [3(m_A+m_{B )±√} 9(m_A– m_B)+ 4 m_Am_B ].

Проще всего найти два раздельных квадратных уравнения для собственных значений, учитывая, что смещения фононов (собственные векторы) могут быть или нечетными, или четными относительно центра суперячейки на рис. 56. Поскольку нечетные и четные собственные векторы не смешиваются, можно разделить четыре уравнения на два не связанных набора уравнений, которые сводятся к уравнениям частот для нечетного собственного

Рис. 57. Расчетные дисперсионные кривые для сверхрешетки A₂B₂ (например, Si₂Ge₂), показанной на рис. 56. 1 – акустическая ветвь, определяемая средней скоростью звука в сверхрешетке, 2 – три оптические ветви.

Рис. 58. Дисперсионные кривые для сверхрешетки A₂B₂. Тонкими линиями показано сложение акустической ветви решетки, подобной сверхрешетке A₂B₂, с одинаковыми слоями A и B.

вектора (плюс ω ²=0) и ко второму уравнению — для четного. Если использовать реальные соотношения между массами Ge и Si, т.е. предположить m_B =2, 6 m_A, что соответствует сверхрешетке Si₂Ge₂, и использовать одну из фононных частот при k = 0 объемного кристалла Ge_, равную около β / m_A = (520см^–1)², можно найти все возможные частоты для такой сверхрешетки: ω = 348 см^–1, ω = 516 см^–1 и ω = 266 см^–1. Наиболее высокочастотная мода очень близка к моде объемного Si (520 см^–1) при k = 0, в то время как две более низкочастотные мо­ды близки к моде объемного Ge (300 см^–1).

Чтобы отметить данный факт, говорят, что происходит сложение дисперсионных кривых (или ЗБ). Для случая m_A = m_B вместо рис. 12 мы бы получили дисперсионные кривые Г-X для объемных про­дольных фононов, сложенные посередине линии, делящей пополам отрезок оси волнового вектора вдоль направления Г-X. В сверхрешетках с m_A≠ m_B появляются расщепления сложенных зон при значениях k, равных 0 и n/d.

Дисперсионные кривые, полученные для рассматриваемой сверхрешетки, построены на рис. 57 для произвольного k в пер­вой зоне Бриллюэна (ЗБ) сверхрешетки (мини-ЗБ) и рис. 58, где показано сложение ветвей акустического колебания «сверхрешетки» с «одиниковыми» атомами, т.е. когда атомы А и В идентичны. Отметим, что вектор k на краю этой ЗБ равен половине значения, соответствующего точке X в Si (2 π /d, где d = a ₀). Поэтому у дисперсионных кривых, приведенных на рис. 57, число ветвей вдвое больше, чем у Si или Ge. Чтобы отметить данный факт, говорят, что происходит сложение дисперсионных кривых (или зоны Бриллюэна), хорошо понятное из рис. 58. Для случая m_A = m_B вместо кривых на рис. 57 мы бы получили дисперсионные кривые для объемных фононов, представляющие одну ветвь. В сверхрешетках с m_A≠ m_B происходит сложение зоны Бриллюэна посередине линии, делящей пополам отрезок оси волнового вектора от 0 до π /a, и появляются расщепления из-за сложенных зон при значениях k, равных 0 и n/d. Эти расщепления подобны расщеплениям, появляющимся в зонах свободных электронов вследствие периодического потенциала: модуляция массы вдоль оси роста является эквивалентом периодического потенциала.

Из приведенного выше рассмотрения следует, что две самые низкие ветви на рис. 57 можно описать как дисперсионные кривые сложенных LA фононов (folding phonons) двух объемных компонент, усредненных в соответствии с выражением v_звука=d/t= d(d_A /v_A+ d_B/v_B)^–1, со щелью при k = n/d, обусловленной модуляцией массы. Две верхние ветви, которые можно было бы назвать сложенными оптическими фононами, нельзя описать как усредненные оптические зоны двух объемных компонент: верхняя ветвь почти плоская, и ее частота соответствует частоте объемного Si в точке Г, а более низкая ветвь довольно близка к частоте объемного Ge в точке Г. Таким образом, похоже, что для оптических фононов не происходит никакого усреднения. Подобный феномен обычно наблюдается для сверхрешеток, особенно для сверхрешеток с большой толщиной индивидуальных слоев. Это довольно наглядно иллюстрирует сделанное выше предположение о том, что оптические моды существуют в некотором интервале частот в одном из слоев, но не существуют в другом. Поэтому они называются модами с квантовым ограничением или квантованными модами.

Подобное сложение зоны Бриллюэна из-за увеличения периода сверхрешетки, определяемое числом элементарных ячеек в каждом слое, для сверхрешетки (GaAs)₈/(AlAs)₈ демонстрируется на рис. 59, где также хорошо видно, как складываются оптические ветви основных компонент сверхрешетки. Кроме того, на рисунке приведены атомные смещения для акустических движений и для оптических колебаний. Акустические колебания ведут себя также как и в объемном материале со средней скоростью звука, в то время как оптические колебания локализованы в каждом из слоев.

Рис. 59. Дисперсионные кривые (сплошные линии) для объемных GaAs (справа) и AlAs (посередине). Наблюдается сильное перекрытие частот их акустических мод, в отличие от оптических мод, для которых перекрытие отсутствует. Правая часть рисунка показывает сложенные акустические и оптические ветви в сверхрешетке (GaAs)₈/(AlAs)₈ и атомные смещения для точек 1, 2, и 3 в оптической ветви кристалла AlAs, в оптической ветви кристалла GaAs и в акустической сложенной ветви сверхрешетки (AlAs)₈/(GaAs)₈. На правой части рисунка показаны те значения волнового вектора k= 4 π n/λ, для которого можно наблюдать рассеяние в сверхрешетке.

Дисперсионные соотношения для сложенных акустических мод можно вычислить в макроскопическом приближении, соответствующему так называемом упругому пределу. Это справедливо для области частот, в которой дисперсия составляющих объемных материалов может считаться линейной. Для волн, распространяющихся вдоль оси роста, средняя скорость длинноволновых сложенных мод дается выражением v_звука=d/t=d (d_A/v_A+d_B/v_B)^–1. Для расчета полных дисперсионных соотношений, необходимо рассмотреть упругие волны в обеих средах, с одинаковой частотой ω. Компоненты волнового вектора q, перпендикулярного оси роста (q_x, q_y), должны быть равны в обеих средах, как и в случае электронных волновых функций. Компоненты же q вдоль z (q_z)должны изменяться при переходе из одной среды в другую, чтобы разным скоростям звука соответствовало одно и то же значение ω. Сверхрешетка как целое обладает трансляционной симметрией вдоль направления z с векторами трансляций, имеющими длину nd (п= ±1, ±2, ±3,...и т.д.). Поэтому смещение атомов в каждом слое можно выразить в форме блоховской волны.

Пусть в средах А и В существует по две волны с одинаковой частотой ω и волновы­ми векторами ±(q_x, q_y, q_zA), ±(q_x, q_y, q_zB), соответственно. Неизвестными являют­ся четыре амплитуды этих волн. Для произвольного направления распространения надо учесть все три возможных поляризации для акустических волн, т.е. всего имеет­ся 12 неизвестных амплитудных коэффициентов, которые надо найти из граничных условий. На интерфейсе должны быть непрерывны смещения (что дает три усло­вия), а также перпендикулярные к интерфейсу компоненты деформации, которые выражаются через градиенты смещений (три дополнительных условия). В результате получается секулярное уравнение размерности 12х12, что приводит к дисперсионным соотношениям для ω (q_x, q_y, k).

Секулярное уравнение в общем случае решается численными методами. В случае высокой симметрии (например, при q_x = q_y = 0 или q_y = k = 0) в сверхрешетке продольные и поперечные моды не смешиваются, и система уравнений упрощается.

где ρ _A, ρ _B – плотности масс в слоях А и В.

Предыдущее уравнение можно переписать в слегка измененной форме:

.

Отсюда видно, что при ε = 0 (в случае, когда акустический импедансы ρ v обеих сред одинаковы), дисперсионное соотношение является просто соотношением для среды со средней скоростью звука, определяемой ранее выведенным выражением.