Нормальные колебания.

Рассмотрение решений колебательной задачи трехмерного кристалла указывает, что каждый атом (n, l) может участвовать в колебаниях, отличающихся волновым вектором k, амплитудой A и частотой w_j (k):

.

Произвольное движение атомов U^l_na может быть представлено как линейная суперпозиция отдельных гармонических движений, отличающихся волновым вектором k (а значит и частотой w_j (k)) и номером ветви j:

Здесь величины

– весовые множители, характеризующий относительный вклад в амплитуду движения атома с номером (n, l) конкретной моды с волновым вектором k и частотой w_j (k). Суммирование в этом выражении производится по всем N возможным дискетным значениям волнового вектора k= (2 p/Na) p и по 3 s ветвям с номером j.

Полная энергия E (кинетическая T и потенциальная V) колеблющейся решетки имеет вид:

.

Член, отвечающий кинетической энергии достаточно прост – это сумма кинетических энергий определенных частиц кристалла. Поэтому суммирования происходит по всем точкам физического пространства кристалла. Член, описывающий потенциальную энергию, имеет другой вид, – это сумма перекрестных членов, относящихся к разным точкам реального пространства. Это связано с тем, что потенциальная энергия зависит от взаимных смещений атомов, находящихся в разных узлах решетки.

Ясно, что подходящим преобразованием исходных координат u^l_na можно перейти к новым координатам Q_j (k), в которых и кинетическая и потенциальная энергия кристалла будет представлена в виде суммы квадратов, т.е. будет отсутствовать перекрестные члены. Физический смысл преобразования, приводящего к диагональному виду сразу две квадратичные формы, достаточно ясен. Первым шагом нужно выбрать такое преобразование исходных координат, которое диагонализирует первую квадратичную форму. Это всегда можно сделать, поскольку в координатах, совпадающих с главными полуосями поверхности второго порядка (гиперэллипсоида), с которой ассоциируется квадратичная форма, она будет диагонализирована. При этом вторая квадратичная форма изменится, но в общем случае диагональной не станет. Вторым шагом можно проделать преобразование, при котором гиперэллипсоид первой формы преобразуется в гиперсферу, а вторая квадратичная форма опять останется недиагональной. Последним шагом явится такое преобразование координат, при котором координаты могут быть выбраны совпадающими с главными полуосями гиперповерхности второго порядка, соответствующей второй квадратичной форме. В этих координатах вторая квадратичная форма будет диагонализирована, в то же время первая квадратичная форма останется квадратичной, поскольку была гиперсферой.

Выбранные таким образом координаты называются нормальными координатами. Они являются линейными комбинациями исходных декартовых координат, изменяются по косинусоидальному (или синусоидальному) закону и описывают движение всех частиц системы с одной частотой и различной амплитудой. Нормальные координаты определяются преобразованием, обратным к рассмотренному:

.

Используя эти координаты, можно получить выражение для энергии колебаний кристалла, которое не будет содержать перекрестных членов, относящимся к разным точкам пространства:

.

Суммирование в этом выражении происходит по N значениям волнового вектора k и 3s ветвям j. Таким образом, полная энергия кристалла может быть представлена в виде суммы энергий независимых осцилляторов, характеризуемых волновым вектором k и частотой w_j (k). В отличие от выражения энергии в координатах смещений, данное выражение содержит сумму по аргументам, относящимся к одной точке пространства волновых векторов k (т.е. обратного пространства). Используя выражение для обобщенного импульса

,

полную энергию кристалла можно записать в виде:

.

Фононы

Квантовые возбуждения нормальных координат или осцилляторов называются фононами. Связь между нормальной модой механического колебания и фононом такая же, как между электромагнитной волной и фотоном. Это, естественно, не может служить основой для квантования механической волны по аналогии с электромагнитной. Однако механические возбуждения в определенных условиях ведут себя как квазичастицы с энергией ћw и импульсом ћ k и во многих разделах физики твердого тела можно найти аргументы в пользу концепции фонона.

Переход к квантовомеханическому описанию производится обычным путем перехода к оператору импульса P_j и сопряженной ему координаты Q_j:

.

Тогда уравнение Шредингера Ĥ y=Ey с гамильтонианом

распадается на 3 sN отдельных независимых уравнений для каждой из координат Q_j (k). Волновая функция y (Qj), описывающая возбуждение кристалла, равна произведению волновых функций каждого независимого осциллятора

где V_{k, j} – колебательное квантовое число осциллятора с координатой Q_j (k), а y_Vkj – волновая функция этого осциллятора с энергией

.

Уровни энергии гармонического квантового осциллятора и собственные функции для этих квантовых состояний показаны на рис.XX. Полная энергия кристалла равна сумме энергий независимых осцилляторов

.

Минимальное значение энергии квантового кристалла 1 / 2 S ћw_j (k) носит название энергии нулевых колебаний. До тех пор, пока тепловая энергия кристалла невелика, и колебания атомов остаются гармоническими, энергию можно представить в виде квадратичной формы (нормальных координат). Это означает, что энергия механического возбуждения кристалла может быть представлена в виде суммы энергий невзаимодействующих частиц. Поэтому в гармоническом приближении фононы ведут себя подобно идеальному газу – они могут сталкиваться упруго без передачи энергии (но при выполнении закона сохранения квазиимпульса). Состояние кристалла можно задать, используя числа, указывающие, сколько фононов каждого сорта, существует при данной температуре. Эти числа носят название чисел заполнения. Набор чисел заполнения |n> указывает, сколько фононов соответствует каждой из возможных мод с импульсом k из ветви j:

|n> =|n (k ₁, j ₁), n (k ₂, j ₂) ....n (k _N, j _{3 s} ) >.

Основное состояние кристалла с энергией 1 / 2 S ћw_j (k). Когда в нем нет фононов, основное состояние кристалла характеризуется набором чисел заполнения |0> =|0, 0, 0...0>. Состояние кристалла, в котором возбужден лишь один фонон из ветви j с импульсом k, можно записать так | 0, 0 ,..... 1(k, j) ... 0, 0 >.