Поперечные и продольные оптические колебания

Оптические колебания при k ® 0 соответствуют движению соседних (различных) частиц в противофазе, причем центр тяжести при колебаниях покоится на одном месте, поскольку можно показать, что уравнение движения Sm_kA_k= 0. Отсюда следует, что если кристалл содержит две частицы с противоположными зарядами (как в NaCl), то при оптических колебаниях в каждой элементарной ячейке может возникать дипольный момент, и такое колебание будет взаимодействовать со светом. Именно поэтому такие колебания называются оптическими. В приближении бесконечно длинных волн (k » 0) кристалл поляризуется однородно и, следовательно, поляризация кристалла может быть описана макроскопически. В акустической ветви в волне с k = 0 все частицы движутся в фазе, и эффективная масса единицы объема равна плотности среды. Для оптический колебаний необходимо использовать приведенную массу. Если два атома имеют массу m₊ и m_–, приведенная масса равна m = m₊m_–/m₊+m_– , а величина m/V, где V – объем элементарной ячейки, является аналогом плотности при оптических колебаниях. Пусть относительные смещения положительных и отрицательных ионов друг относительно друга будут w:

,

где u₊ и u_– смещения положительных и отрицательных ионов. Вообще говоря, если учесть, что вектор смещения атомов w в волне может быть продольным или поперечным, вклад в поляризацию среды должен учитываться отдельно, т.е. надо учитывать, что w = w_t+w_l. Более того, в не кубических кристаллах есть два типа поперечных волн W_t=W_{t 1} +W_{t 2}, однако здесь будут рассмотрены только кубические кристаллы.

При макроскопическом описании можно написать следующие уравнения для вектора смещенияw и поляризации P:

Здесь E – электрическое поле, возникающее из-за колебательного движения заряженных частиц; P – поляризация образца; b_ij – некоторые коэффициенты, физический смысл которых будет ясен из дальнейшего. Это строгие макроскопические уравнения, справедливые для k » 0, т.е. для длин волн возбуждений l> > a значительно больших постоянной ячейки кристалла. Первое уравнение – просто уравнение движения частиц: член b ₁₁ W – упругая механическая сила; член b ₁₂ Е – электрическая сила (сила Кулона), действующая на движущиеся заряды. Второе уравнение выражает поляризацию при распространении в среде волн с k » 0.

Решение этой системы уравнений нужно искать в виде функций Блоха, поскольку речь идет о решении задачи в периодическом потенциале:

Подстановка этих решений в систему уравнений дает:

.

Из первого уравнения следует:

.

Поскольку D=E+ 4 pP=eE, то

.

Из соображений размерности величина –b ₁₁ =w_о ² представляет собой константу, описывающую резонансную частоту среды. Действительно, поперечные частоты системы находятся как полюсы диэлектрической проницаемости среды e (т.е. e® ¥). Таким образом, – b ₁₁ =w_ТО ².

Для очень высоких частот, когда w> > w_TO, поляризация решетки определяется только электронной поляризацией среды и e = e_¥ = n ². Поэтому

.

При низких частотах, когда w< < w_TO, поляризация среды определяется как электронной, так и ионной частью. При этом диэлектрическая постоянная e =e_о и

.

Используя выражение для b ₁₂ b ₂₁, выражение для диэлектрической проницаемости можно записать следующим образом:

Это дисперсионная формула для диэлектрической проницаемости (рис. 37).

Рис. 37. Диэлектрическая проницаемость e (w) и коэффициент отражения R (w) кристалла вблизи одиночного резонанса на частоте w_TO без учета затухания (сплошная кривая) и при учете конечного затухания (пунктирная кривая).

Она хорошо описывает поведение e в широкой области частот. Исключением является только область w» w_TO, поскольку при w =w_TO диэлектрическая проницаемость стремится к бесконечности e® ¥. Чтобы это исключить, необходимо учесть затухание. В этом случае уравнение для смещения w выглядит так:

.

Это приводит к дополнительному члену в знаменателе выражения для диэлектрической проницаемости:

Комплексность e означает поглощение энергии при w®w_TO. Данная формула, конечно, справедлива не только для кристаллов, но и для жидкости. Например, для кристалла NaCl: e_o= 5.62, e_¥ = 2.25 =n ²; для воды Н ₂ О: e_о= 81, e_¥ =n ² = 1.322².