Решение. Методические указания к решениям и ответы

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

Заочная школа

ФИЗИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

Первое задание-2013

Методические указания к решениям и ответы

Класс

1. Пассажир поезда смотрит на вагоны встречного поезда. В момент, когда последний вагон встречного поезда прошел мимо его вагона пассажир ощутил (по виду из его окна), что его движение резко замедлилось. Почему? Объясните подробней.

Решение. Когда пассажир глядит в окно на движущийся поезд, он, видит скорость именно поезда, движущегося с относительной скоростью его поезда. Когда встречный поезд проходит, для пассажира видимая скорость становиться равной скорости относительно земли.

2. Определите высоту дома, если длина его тени равна , а длина тени от вертикального столба высоты h, равна l.

Решение. Длины теней относятся, как высоты (изобразите рисунок): .

Откуда искомая высота дома .

3. Почему падающие вертикально дождевые капли в безветренную погоду оставляют наклонные прямые полосы на стеклах равномерно движущегося вагона?

Решение. Когда вертикальные капли падают на окно стоящего поезда, они создают вертикальные полосы на окне вагона. Когда поезд движется, скорости капель (вертикальная) и горизонтальная скорость поезда складываются. Куда направлен угол поворота полос определите сами.

4. Муха летает со скоростью u между двумя баранами, которые хотят столкнуться лбами. Определите ее путь до столкновения баранов, скорости баранов равны v, а начальное расстояние между ними L.

Решение. Расстояние до столкновения каждый баран проходит за время . За это время муха проделает путь .

5. Измерьте линейкой длину, ширину и высоту твердой коробки, например, из-под обуви. Определите площадь каждой поверхности и объем коробки. Оцените ошибку каждого из проведенных выше измерений.

Решение. Пусть по результатам измерений получили: длина – а, ширина – b, высота – с. А ошибка каждого измерения равна .Тогда для площади имеем:

.

Последним членом можно пренебречь, так как обычно ошибка много меньше измеряемых величин. И выражение для площади записывается в виде:

.

Для объема получим:

.

Как и раньше, пренебрегаем членами пропорциональными , тем более.

Тогда окончательно

.

6. Измерьте диаметр цветного карандаша из набора с помощью обычной линейки с минимально возможной ошибкой.

Решение. Нужно выложить все карандаши в ряд и измерить ширину этого ряда. Чем больше карандашей, тем меньше ошибка.

Класс

1. Оцените силу давления воды на плотину ГЭС, длина которой , а высота .

Решение. Сила давления воды равна давлению P, умноженная на площадь S ГЭС. В данном случае давление воды меняется с глубиной по закону , где – плотность воды, , а h – глубина. Так как давление меняется с глубиной линейно, можно взять для расчета среднее давление . (Атмосферное давление можно не принимать во внимание, так как оно действует в обе стороны). Подставляя числа, получим:

.

2. Тело в воде весит в три раза меньше, чем в воздухе. Чему равна плотность тела?

Решение. Пусть плотность тела равна r. А плотность воды . Тогда вес тела P объема V в воздухе равен . В воде вес тела будет равен . Откуда .

3. Катер, двигаясь по течению реки из пункта А в пункт Б, прошел путь за время , двигаясь против течения – за время . Расстояние между пунктами равно . Найдите скорость течения реки.

Решение. Обозначим скорость катера в неподвижной воде через v, а скорость течения реки через u. Тогда из условия: , . Откуда получим ответ:

.

4. Два поезда длиной и движутся навстречу друг другу со скоростями и . В течение, какого времени проходит первый поезд перед окном второго?

Решение. Перейдем в систему отсчета второго поезда. Тогда относительная скорость первого поезда равна . Первый поезд проходит мимо окна второго за время . Подставляя числа, получим: .

5. Тело массы m, упавшее с некоторой высоты, приобрело скорость v. С какой высоты упало тело? Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы поднять тело на эту высоту?

Решение. Тело упало с высоты H. Кинетическая энергия тела равна потенциальной энергии. Тогда . Откуда . Минимальная работа равна .

6. Штангист поднимает штангу массой на высоту за время . Какую мощность он развивает?

Решение. При подъеме штанги совершается работа По определению, мощность Подставляя числа, имеем: .

Класс

1. Из деревни Простоквашино по одной дороге одновременно в одном направлении отправляются Кот Матроскин и Дядя Федор. Дядя Федор идет пешком, а Матроскин катит на велосипеде. Через время t Матроскин догоняет Федора. С какой скоростью двигался Матроскин, если он ехал в четыре раза быстрее Федора, а дорога была круговой и имела радиус R?

Решение. Матроскин проделал до встречи лишний круг. Путь, пройденный Дядей Федором x, а Матроскиным . Время движения одинаково: .

Ответ: .

2. Шарик прикреплен к нитке. Если за нитку тянуть вверх с силой F 1, он плавает, наполовину погрузившись в воду. Для того, чтобы шарик утонул, нитку нужно тянуть вниз с силой F 2. Определите массу шарика.

Решение. Обозначим силу Архимеда, действующую на полностью погруженный шарик F_a. Условие равновесия в первом случае , во втором .

Ответ: .

3. Остановившись на ночлег, турист развел костер и подвесил над костром котелок со снегом. После того, как снег растаял, котелок оказался неполным, и

турист бросил в него новую порцию снега. На рисунке показан график изменения температуры в котелке. Во сколько раз новая порция снега увеличила количество воды в котелке, если она была добавлена в момент времени t 2? Оцените температуру снега,

считая теплоемкость снега и воды одинаковой.

Решение. Положение оси абсцисс соответствует температуре таяния льда 0° С. Поскольку обычно горизонтальная ось проводится при нулевом значении координаты Y, мы предполагаем, что температура выражена в градусах Цельсия. Из графика следует, что новую порцию снега бросили в момент времени t₂. В интервале и в котелке находилась только жидкость. Количество тепла, поступающее в котелок в единицу времени, не меняется, пусть оно будет N. В первом случае нагревается масса воды m₁, во втором – увеличенная масса m₂, удельная теплоемкость воды c. Баланс энергии в первом интервале , во втором . Из полученных уравнений можно найти отношение новой массы воды к первоначальной массе. Оценку температуры снега можно сделать, сопоставив интервалы времени и . В первом интервале постепенно весь снег превращается в воду при постоянной температуре 0° С: , во втором сначала новая порция снега нагревается до 0° С и частично тает за счет остывания до 0° С ранее нагретой воды, а затем оставшийся снег медленно тает за счет тепла, получаемого от костра: . Подставив значения N и , получим:

.

Ответ: ; .

4. Имеется бухта проволоки и диэлектрический щит, на котором смонтированы три клеммы, расположенные в вершинах правильного треугольника. Сопротивление прямого отрезка проволоки между двумя клеммами R. Можно ли, подключая к клеммам разное количество прямых отрезков проволоки, получить сопротивление

между клеммами с точным значением и ? Как это сделать?

Решение.

1) Сопротивление 5 параллельных отрезков .

2)
	, .

3)

,

справа последовательно включены два сопротивления. Заменяем их одним сопротивлением . Параллельное соединение двух сопротивлений R и : .

4) Сопротивление 4/5 получить невозможно. Допустим, что мы получили это сопротивление между клеммами A и C. Если они непосредственно не замкнуты проволокой, то , когда между A и B параллельно включены m отрезков проволоки, а между B и C – n. Поскольку 5 – простое число, то , тогда , , или равенство , невыполнимое при целых i и k. Если мы A и C непосредственно соединим проволокой, то либо получим R, либо, если между A и B, A и C также имеются связи, сопротивление .

Класс

1. Рисунок изображает карту. Жирная линия на карте – дорога. По дороге движется автобус. В момент времени t ₁=12 час 30 мин он находился в точке A, а через двадцать минут – в точке B. Турист шел по прямой тропинке, изображенной штриховой линией. Он находился в точке A ₁, когда часы показывали время t ₃=8 час и в точке B ₁ в 10 час. Сколько времени турист будет на обочине дороги дожидаться автобуса?

Решение. Примем размер клетки, равным a. Тогда расстояние A ₁ B ₁ , расстояние от B ₁ до точки пересечения с дорогой O получим из подобия треугольников A ₁ SB ₁ и S ₁ OB ₁: . Отрезок , расстояние, пройденное автобусом, .

Скорость автобуса , скорость туриста . Допускается решение, в котором расстояния определяются линейкой. Оценка не снижается, если это не ведет к значительной погрешности в ответе. Время, потраченное автобусом на движение до точки O: мин, время, потраченное туристом: мин = 2 час 24 мин. Время прибытия туриста . Время прибытия автобуса .

Ответ: время ожидания 32 минуты.

2. Два встречных поезда одинаковой длины L двигались, разгоняясь с одинаковым по модулю ускорением. В момент времени, когда встретились головы поездов, их скорости были v ₁ и v ₂. Определите скорости поездов, когда разошлись их последние вагоны, если это произошло на расстоянии L ₁ от места встречи в направление движения первого поезда.

Решение. Между моментом встречи и окончательного расхождения поездов их скорости увеличились на равную величину . Перемещение первого поезда , второго: . Исключив t, получим: , .

Ответ: в момент, когда поезда разошлись, их скорости были , .

3. На весах стоит чашка. В чашке плавает, погрузившись на ¾ в воду, деревянный брусок формы куба. Весы показывают P 1. После того, как брусок, приложив некоторую силу, утопили, показания весов стали P 2. Когда брусок аккуратно вынули, весы стали показывать P 3. Какая масса воды вылилась из чаши? Решение. В первом сюжете брусок плавал и действующая на него сила Архимеда равна его весу: . Во втором сюжете брусок утопили – сила Архимеда увеличилась пропорционально объему вытесненной жидкости. Для того,

чтобы сохранить равновесие, нужно было приложить силу . Если бы вода не вылилась, именно на эту величину должны были увеличиться показания весов. На самом деле: , где – масса вылившейся воды. Показания весов в третьем сюжете: . Решая уравнения, получаем ответ.

Ответ: .

5. Коврик массы m 1 и невесомый блок находятся на гладком столе. На коврике лежат два бруска массой m 2 и m 3, связанные переброшенной через блок невесомой нитью. При какой минимальной приложенной к блоку силе оба бруска будут скользить по коврику?

Коэффициент трения между брусками и ковриком m. Трение между остальными предметами отсутствует.

Решение. Предположим, что сила натяжения нити T. Второй закон Ньютона для первого бруска: , для второго , для коврика . Условие скольжения . Из первого условия получаем , , . Из второго: . Если , достаточно выполнить первое, в другом случае – второе.

Ответ: при ;

при .

Класс

2. Две одинаковых заряженных бусинки с массой m нанизаны на кольцо из легкой нити. Нить подвешена, и бусинки в положении равновесия образуют с точкой подвеса правильный треугольник со стороной a. Определите заряд бусинок.

Решение. Сила натяжение нити во всех точках одинакова. Условие равновесия бусинки по вертикали: , условие равновесия бусинки по горизонтали: .

Ответ: .

3. В проволочном квадрате две противоположные стороны соединили отрезком той же самой проволоки, из которой он сделан. Определите отношение сопротивлений между точками A и B при двух разных способах соединения (см. рисунок).
Решение. Приняв сопротивление одной стороны квадрата равной R, в первом случае получим эквивалентную схему, изображенную на рисунке. Эквивалентная схема при первом варианте включения перемычки изображена на рисунке. Последовательно упрощая схему, заменяя

параллельные и последовательные соединения сопротивлений эквивалентными сопротивлениями (см. рисунок), приходим к . Во втором случае перемычка соединяет точки P ₁ и P ₂ с равным потенциалом и ее включение не меняет сопротивления исходной рамки, составленного из параллельных R и 3 R: .

Ответ: .

4. Герметичный бак разделен горизонтальной перегородкой на две части: нижняя имеет высоту h, а верхняя – 2 h. Верхняя секция бака наполовину заполнена жидкостью. Свободные объемы бака заполнены воздухом с давлением P. В перегородке открылась течь – половина жидкости просочилась в нижний отсек, после чего процесс утечки остановился. Определите плотность жидкости.

Решение. Протекание жидкости через маленькое отверстие в переборке прекратится, когда сравняется давление воздуха P 1 плюс жидкости сверху и воздуха P 2 снизу. .

Давление воздуха в секциях связано с начальным давлением законом Бойля–Мариотта: , .

Ответ: .

5. Два одинаковых бруска лежат друг за другом на горизонтальном столе. С левого края левого бруска с

начальной скоростью v пускают шайбу (см. рисунок). Она скользит по поверхности первого бруска, переходит на второй и прекращает скольжение посредине второго бруска. Трение брусков о стол отсутствует. Определите конечные скорости тел. Шайба и бруски имеют одинаковые массы.

Решение. Пока шайба скользит по первому бруску, оба бруска движутся как одно целое. Запишем закон сохранения импульса: (1). При скольжении шайбы по второму бруску (2). Первый брусок сохранит скорость u. Работа силы трения пропорциональна относительному перемещению трущихся поверхностей. При скольжении шайбы о второй брусок она в 2 раза меньше, чем при скольжении о первый: (3). Из закона сохранения энергии найдем работу в первом и втором случае: (4), (5). Выразив и из (1) и (2) и подставив (4) и (5) в (3), найдем , . Из условия оставляем второй корень.

Ответ: скорость первого бруска , второго бруска и шайбы .