Проблемно-ориентированные математические модели технологического комплекса «индукционный нагрев – раскатка».

Синтез нелинейных технически сложных систем целесообразно производить на множестве S частных моделей, позволяющих выявить основные свойства и особенности исследуемых систем /76/. Для тех­нологического комплекса " ИН - раскатка" множество должно содер­жать математические модели процессов индукционного нагрева, обработки металла давлением (раскатки) и процесса остывания (тепловые потери с поверхности заготовки).В качестве нагреваемой и обрабатываемой заготовки выступает подшипниковое кольцо прямоугольного сечения.Кольцо вращается, проходя через несколько зон: зону нагрева в индукторе, зону деформации и две зоны тепловых потерь, находящиеся в промежутках между зонами деформации и нагрева.В процессе обработки кольца давлением (раскатки), его диаметр плавно увеличивается, толщина уменьшается, а ширина не изменяется. Для обеспечения процесса раскатки кольцо необходимо нагревать до температуры, с допустимым перепадом ее по толщине кольца [ссылки]. Затем кольцо проходит зону деформации, в процессе которой, скорее всего, изменяется температура и ее распределение по толщине кольца. Затем при прохождении кольца через зону тепловых потерь изменяется его температура и ее распределение по толщине.

Рис.1. Схема комплекса «Индукционный нагрев – раскатка».

На рисунке 1 представлена схема технологического комплекса «ИН-раскатка». На ней обозначены: валки (1, 2), кольцо (3), индуктор(4). Показано три этапа изменения диаметра кольца в процессе раскатки.Величина угла поворота кольца от зоны нагрева до зоны деформации незначительная, и на этом отрезке тепловые потери примем нулевыми. Прохождение кольца через индуктор считается равномерным, без колебаний и осевых сдвигов. Для успешной раскатки кольца необходимо обеспечить нагрев кольца до температуры с допустимым перепадом. Причем такая температура и такой ее перепад должны сохраняться во время всего процессанесмотря на изменения диаметра и толщины кольца, влекущих за собой увеличения тепловых потерь с поверхности кольца на отрезке от зоны деформации до зоны нагрева.

Поддерживать необходимые температуру и перепад можно с помощью изменения таких параметров как: мощность индуктора, скорость вращения кольца, скорость сближения валков, давление валков.

Для описания процессов, протекающих в комплексе «ИН-раскатка» необходимо решить задачу, объединяющую несколько частей:

1) Э лектротепловая задача. Ее результатом является характер распределения внутренних источников тепла и температурного поля в заготовке на этапе нагрева.

2) Термоупругопластическая задача. Ее результат показывает характер распределения внутренних источников тепла и изменения температурного поля после нагрева в заготовке на этапе деформации.

3) Задача определения тепловых потерь. Ее результатом является изменения температурного поля под действием тепловых потерь через поверхность кольца, на отрезке от зоны деформации до зоны нагрева.

Результатом решения обобщенной задачи [станут оптимальные параметры управления нагревом, обеспечивающие раскатку данного подшипникового кольца].

Для решения такой задачи необходимо создать математическую модель объединяющую в себе модели электромагнитных, механических и тепловых процессов, и их взаимосвязь в технологическом комплексе «ИН-раскатка». Для этого необходимо привлечение теории электромагнетизма, вихревых токов, теплопроводности, теоретической механики и упругости материалов; знание характера электромагнитных, тепловых и механических процессов, и средств их количественного описания (моделирования).

Разработка адекватных моделей процессов индукционного нагрева пред­ставляет собой сложную самостоятельную проблему, решению которой посвящены многочисленные работы ученых В.П. Вологдина, JI.P. Неймана, Г.И. Бабата, А.Е. Слухоцкого, А.В. Донского, С.А. Яицкого, А.М. Вайнберга, О.В. Тозони, B.C. Немкова, Н.А. Павлова, А.Б. Кувалдина[12, 32, 45, 54, 55, 65, 83, 86, 89 Осипов], а также ряда зарубежных специалистов.

Процесс непрерывного индукционного нагрева описывается в общем слу­чае нелинейной системой уравнений Максвелла и Фурье для электромагнитного и теплового полей соответственно [10, 48осипов]

(1)

(2)

Здесь Н, Е, В - векторы напряженностей магнитного и электрического полей,

магнитной и электрической индукции, - плотность тока проводимости, с, γ – удельные значения теплоемкости и плотности нагреваемых изделий, V – вектор скорости перемещения обрабатываемого металла, Т – температурное поле изделия.

Объемная плотность внутренних источников тепла, индуцируемых в ме­талле, определяется дивергенцией вектора Пойтинга П=-div[EH] [10осипов].

Решение системы (1) - (2) относительно температурного поля, описы­вающего тепловое состояние объекта, в общем случае возможно только числен­ными методами для каждой конкретной технологической ситуации.[так сказал осипов]

Для получения удовлетворительной по точности математической модели ИН подшипникового кольца, необходимо принять некоторые допущения. Подшипниковое кольцо представляет собой замкнутую прямоугольную призму, которую при описании процесса ИН можно рассматривать как длинный стальной сляб. У этого сляба отсутствуют торцевые поверхности, а изначальная толщина соизмерима с шириной и длиной, что не позволяет рассматривать кольцо как тонкую полосу. После принятых допущений составляется трехмерное нелинейное уравнение нестационарной теплопроводности, применимое к слябам, аналогично [дисс Проценко]. Нелинейные температурные зависимости теплопроводности λ (Т) и ρ (Т) нагреваемого материала представлены в виде коэффициентов, определяемых согласно выражениям

(3)

гдеλ _б, ρ _б - базовые значения коэффициента теплопроводности и удельного сопротивления; λ (T), ρ (T) - текущие значения коэффициента теплопроводности и удельного сопротивления. Такой подход позволил представить температурные зависимости в виде изменения коэффициентов (3) во времени t:

(4)

и избавиться от нелинейности путем кусочно-постоянной линеаризации уравнений во времени

(5)

На каждом интервале постоянства теплофизических свойств стали температурное поле нагреваемого кольца описывается в относительных единицах уравнением вида:

(6)

с краевыми условиями

(7)

Для скорости еще нужно

Здесь x, y, z - относительные значения пространственных координат, взятые в долях от соответствующих размеров сляба. U(φ) - относительная удельная мощность нагрева. φ - критерий Фурье. β, γ - коэффициенты характеризующие соотношение размеров сляба. Bi_x, Bi_y, Bi_z - критерий Био, характеризующий конвективный теплообмен с различных граней сляба. q_Пx(φ), q_Пy(φ), q_Пz(φ) - потоки тепловых потерь с соответствующих граней сляба. ε - параметр, характеризующий степень поверхностного эффекта. W₁(x, y, z, φ) - функция пространственного распределения электромагнитных источников тепла. W₂(x, y, z, φ), W₃(x, y, z, φ), W₄(x, y, z, φ) - функции распределения внешних тепловых потоков.

Наиболее точно отражают сложные процессы взаимосвязанных электро­магнитных и тепловых явлений комбинированные и численные модели, разра­ботанные в Санкт-Петербургском (Ленинградском) электротехническом инсти­туте [29, 30, 39, 53, 54, 57, 58, 65осипов]. В первую очередь, это численные модели [29, 54, 57, 94, 95осипов], позволяющие рассчитывать двухмерные электромагнитные поля индукционных нагревателей с ферромагнитной загрузкой. Комплексные электротепловые модели [58, 64, 67, 68осипов] кузнечных нагревателей непрерывного действия объединяют приближенные аналитические модели электромагнитной и тепловой задач. Здесь, как правило, используется аналитическое решение одно­мерного уравнения теплопроводности и приближенное решение (с использова­нием численных методов) электромагнитной задачи. Зависимость физических свойств стальных заготовок от температуры аппроксимируется ступенчатыми функциями и все время нагрева разбивается на временные интервалы, в преде­лах которых параметры системы считаются постоянными. Точность комплекс­ных электротепловых моделей вполне удовлетворительна для большинства процессов сквозного нагрева заготовок перед обработкой давлением.

Численные модели [16, 29, 52, 56, 70, 94, 95, 96осипов], хотя и позволяют полу­чить решение, но при расчетах нагревателей непрерывного и методиче­ского действия для ферромагнитных заготовок оказываются чрезвычайно гро­моздкими и требуют применения ЭВМ с большим объемом памяти и высоким быстродействием.

В процессе «ИН – раскатка» кроме электротепловых проблем индукционного нагрева существует проблема обработки металла давлением и количественная оценка его параметров при этом процессе. Этой проблеме посвящены ряд трудов [ссылки]. Среди них в основном представлены труды на тему прессования. Вопросам прокатки металла посвящены труды [ссылки]. В статье профессора Ф.С.Дубинского [ссылка] отражена проблема моделирования температурных процессов для совершенствования технологии сортовой прокатки. Моделирование и проектирование темпера­турных режимов прокатки сортовых профилей служат базой для анализа и совершенствования существующих и разработки новых технологий прокатки, которые обеспечивают получение каче­ственного конечного продукта. Задача определения температурных режимов включает не только правильный выбор температу­ры нагрева металла перед прокаткой, но и опреде­ление температуры металла в любой точке про­катного стана. Разработанная модель температурных режи­мов учитывает изменения температуры непосред­ственно в прокатной клети и межклетевом проме­жутке, в подогревающих или охлаждающих уст­ройствах, при транспортировке металла в линии стана. Модель применима для расчета температу­ры различных прокатываемых материалов и может использоваться при разработке технологии про­ катки на любом типе сортового стана. Общий вид модели для определения темпера­туры металла в любом месте прокатного стана имеет вид:

(8)

Где t_i-1 – температура металла в точке предыдущего расчета, или заданная температура; - потери температуры металла в процессе прокатки и транспортировки его в линии стана; - разо­грев металла в процессе его деформации; - нагрев раската в различных подогревающих уст­ройствах в технологическом потоке стана; - охлаждение раската в различных охлаждающих устройствах на стане.

Созданная математическая модель позволяет решать задачи управления температурным режи­мом прокатки и оптимизации технологических режимов и размещения оборудования для достижения требуемой температуры полосы. Но полоса предусматривает отсутствие температурного распределения по толщине. А подшипниковое кольцо является замкнутой призмой, имеющей толщину. В момент деформации потери тепла с боковых поверхностей принимаются нулевыми. Во время транспортировки от зоны деформации до индуктора потери тепла происходят со всех поверхностей.

Для расчета теплового баланса раската используется несколько различных методов [ссылки]. Среди них большинство относятся к расчетам теплового баланса полосы. Расчет температуры раската без учета особенностей изменения температурного поля по толщине не позволяет получить достоверную качественную и количественную оценку температуры раската. Метод [122кон] подразумевает расчет теплового баланса с учетом распределения тепла по толщине раската. Апробация этого метода [ссылки] показала, что погрешность расчета температуры поверхности любого участка не превышает 20С.

Сущность метода [122кон] заключается в численном решении дифференциального уравнения теплопроводности:

(9)

Длина зоны деформации пренебрежимо мала относительно длины окружности кольца. Поэтому принимается, что процесс деформации валками на этом участке не меняет начального распределения тепла по длине участка. В связи с этим рассматривается поперечное сечение заготовки, где изменение температуры в момент деформации происходит по ширине и толщине. Оно определяется из решения двухмерного уравнения:

(10)

где t – температура металла, ψ – время охлаждения, а – коэффициент температуропроводности металла.

Начальное условие вытекает из распределения температуры после индукционного нагрева:

(11)

(3) надо ли?

Граничные условия, характеризующие контактный теплообмен кольца с валками приняты для случая идеального контакта:

, (12)

где λ _B - теплопроводность валков, θ _в – температура валков.

Для решения задачи уравнения (10), (11) и (12) необходимо рассматривать совместно с начальным условием и уравнением теплопроводности для валков. Ввиду кратковременности контакта уравнении теплопроводности для валков может быть выведено как для пластины бесконечной толщины, т.е аналогично уравнении (2), а начальное распределение температуры по сечению валка принято постоянным t(x)=const.

В очаге деформации происходит конвективный перенос массы металла [ссылка]. В связи с этим температурное поле раската зависит от диффузионного и конвективного переноса тепла. С другой стороны, время нахождения металла в очаге деформации незначительное, следовательно, с точки зрения теории теплопроводности, раскат ведет себя как полуограниченное тело. Для отыскания функции температурного поля раската необходимо решить дифференциальное уравнение теплопроводности для движущейся среды с внутренними источниками тепла:

(13)

(M₁τ ≤ X ≤ ∞)

При следующих краевых условиях:

(14)

ϑ (∞; τ)≠ ∞ (15)

(16)

ϑ (X, 0)=ϑ ₀ - B₁exp(-F₁X) + B₂exp(-F₂X) (17)

где ϑ (X, τ – относительная избыточная температура, X = xχ – относительная координата, χ - относительный коэффициент теплообмена между валками и раскатом. Τ = aχ ²t – относительное время. t ₂ – длительность прохождения данного вертикально-поперечного сечения через очаг деформации. M₁ = – безразмерная скорость перемещения частиц деформируемого металла в направлении, нормальном граничной поверхности. M₁’ = – безразмерная скорость перемещения граничной поверхности в очаге деформации. М=М₁’-М₁. s1 – скорость перемещения граничной поверхности, s1’ – скорость перемещения частиц деформируемого металла. В направлении, нормальном граничной поверхности. – критерий Померанцева. ω – удельная мощность тепловыделения в объеме очага деформации. Т₁ – температура поверхности сляба в момент выдачи из нагревательной печи. ϑ ₀ – относительная избыточная температура центра раската на входе в очаг деформации. – критерий Кирпичева для очага деформации. B₁, B₂, F₁ и F₂ – величины, зависящие от характера распределения температуры по сечению раската на входе в очаг деформации (определяются в процессе аппроксимирования распределения температуры на выходе из индуктора).

После зоны деформации следует зона тепловых потерь, которые можно определить с помощью трехмерного дифференциального уравнения теплопроводности:

(18)

с краевыми условиями

Здесь x, y, z - относительные значения пространственных координат, взятые в долях от соответствующих размеров сляба. Bi_x, Bi_y, Bi_z - критерий Био, характеризующий конвективный теплообмен с различных граней сляба.