Вычисление производных в задачах геометрии и частных производных

Указания к выполнению лабораторной работы:

I Составить уравнение касательной и нормали к линии, которая задана уравнением y(x)=f(x) в точке М(x0, y0).

1. Задать значения х0 и у0 в точке М.

2. Записать уравнение линии у(х).

3. Определить производную от функции у(х) , использовав панель вычислений и панель символов. Присвоить значение производной функции уу(х): = .

4. Записать уравнение касательной у виде

,

5. Аналогично записать уравнение нормали

6. Построить графики касательной и нормали.

7. Отформатировать графики.

II Выполнить числовое и символьное вычисление частных производных высшего порядка от функции трех переменных.

1. Записать функцию, от которой будут вычисляться производные второго порядка.

2. Обратиться к панели вычислений и выбрать оператор дифференцирования.

3. В соответствующем месте заполнения оператора записать функцию, переменную для дифференцирования и порядок дифференцирования.

4. Нажать правой кнопкой мыши на знак оператора дифференцирования и в контекстному меню выбрать View Derivative As (Показать производную как), установить флажок Partial Derivative (Частная производная).

5. Отметить оператор дифференцирования и обратиться к панели Символика/Вычислить/В символах.

6. Задать числовые значения для переменных, от которых вычисляется производная.

7. Вычислить числовые значения производных.

Таблица 5 – Варианты заданий (часть 2)

Номер варианта	Функция f(x) для определения касательной и нормали	Точка М (х0, у0) для определения касательной и нормали	Функция f(x, у, z) для вычисления частной производной	Точка М (х0, у0, z0) для числового вычисления частной производной
	х2 -3х+5	(2, 3)	х2 -3х3y-4y2+2y-z3	(0, 1, 2)
	х2 +2х+6	(-1.1)	z2ex*x+y*y	(0, 0, 0)
	х3-3х2	(3, 1)	xcos(y)+yz4	(1, 0, 0)
	0.5х-sin(x)	(0, p/3)	z ln (x2-y2)	(3, 1, 3)
	(x-5)ex	(4, 0)	zsin(xy)+z2	(1, 1, 1)
	1-(x-2)4/5	(2, 1)	х2 +2y2-3xy-4z2	(0, 0, 0)
	x5+5x-6	(0, -1)	zx× ln (y)+xy2z	(0, 2, 1)
	(x3+4)/x2	(2, 3)	y(x-zcos(x))	(0, 0, 0)
		(0, 1)	sin(x)(cos(z)+cos(y))	(1, 0, 0)
	sin2(x)	(0.5, 0.5)	x4yz+sin(y)	(2, 1, 0)
	x2-0.5x4	(0, 0)	(x-y2)*(z3-x)	(1, 1, 1)
	х3-3х2	(0, p/3)	х2 -3х3y-4y2+2y-z3	(0, 1, 2)
	0.5х-sin(x)	(4, 0)	z2ex*x+y*y	(0, 0, 0)
	(x-5)ex	(2, 1)	xcos(y)+yz4	(1, 1, 1)
	1-(x-2)4/5	(2, 1)	z ln (x2-y2)	(3, 1, 3)
	x5+5x-6	(0, -1)	zsin(xy)+z2	(1, 1, 1)
	0.5х-sin(x)	(0, p/3)	х2 +2y2-3xy-4z2	(0, 0, 0)
	(x-5)ex	(4, 0)	zx× ln (y)+xy2z	(0, 2, 1)

Продолжение таблицы 5

	1-(x-2)4/5	(2, 1)	y(x-zcos(x))	(0, 0, 0)
	x5+5x-6	(0, -1)	sin(x)(cos(z)+cos(y))	(1, 0, 0)
	(x3+4)/x2	(2, 3)	zx× ln (y)+xy2z	(0, 2, 1)
	х3-3х2	(3, 1)	y(x-zcos(x))	(0, 0, 0)
	0.5х-sin(x)	(0, p/3)	sin(x)(cos(z)+cos(y))	(1, 0, 0)
	(x-5)ex	(4, 0)	x4yz+sin(y)	(2, 1, 0)
	1-(x-2)4/5	(2, 1)	(x-y2)*(z3-x)	(1, 1, 1)
	x5+5x-6	(0, -1)	х2 -3х3y-4y2+2y-z3	(0, 1, 2)
	(x3+4)/x2	(2, 3)	z2ex*x+y*y	(0, 0, 0)
		(0, 1)	xcos(y)+yz4	(1, 0, 0)
	sin2(x)	(0.5, 0.5)	z ln (x2-y2)	(3, 1, 3)
	x2-0.5x4	(0, 0)	zsin(xy)+z2	(1, 1, 1)

Пример

I Составить уравнение касательной и нормали к линии, которая задана уравнением y(x)=х⁴ -3х³+4х²-5х+1 в точке М(0, 1).

1 Задать значения х0 и у0 в точке М: х0: =0, у0: =1.

2 Записать уравнения лини у(х): = х⁴ -3х³+4х²-5х+1.

3 Определить производную от функции у(х) , использовав панель вычислений и панель символов. Присвоить значение производной функции уу(х): = .

4 Записать уравнение касательной в виде

,

.

5 Аналогично записать уравнение нормали

6 Построить графики касательной и нормали.

7 Отформатировать графики.

Рисунок 9- График касательной и нормали

ІІ Записать функцию, от которой будут вычисляться производные второго порядку

1. Обратиться к панели вычислений и выбрать оператор дифференцирования .

2. В соответствующие места заполнения оператора записать функцию, переменную для дифференцирования и порядок дифференцирования.

3. Нажать правой кнопкой мыши на знак оператора дифференцирования и в контекстном меню выбрать View Derivative As (Показать производную как), установить флажок Partial Derivative (Частная производная) (рис.25):

, , .

4. Отметить оператор дифференцирования и обратиться к панели Символика/Вычислить/В символах.

5. Задать числовые значения для переменных, от которых вычисляется производная х: =1, y: =1, z: =1.

6. Вычислить числовые значения производных.