Частица в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме

Определим энергию , волновые функции и вероятности нахождения электрона в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме, шириной l.

Решение:

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид:

.

(9.4)

Граничные условия:

.

(9.5)

Решим уравнение (9.4) и найдем искомую волновую функцию , удовлетворяющую уравнению и граничным условиям.

Разделим потенциальный рельеф на три области, в соответствии со значением уровня потенциальной энергии. Решение ищем в каждой области отдельно.

Рассмотрим области I и III: в этих областях потенциальная энергия поля , электрон не может оказаться в этих областях, поэтому единственное возможное решение уравнения (9.4) в этой области, .

В области II: и уравнение Шредингера выглядит так:

или ,

(9.5)

где .

Данное уравнение является однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение. Для этого запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:

, ,

т.к. корни характеристического уравнения комплексные числа у которых действительная часть равна нулю, а комплексная часть , то общее решение нашего дифференциального уравнения определяется формулой:

Значения постоянных, т.е. частное решение найдем из граничных условий и свойств волновой функции, обусловленных ее физическим смыслом. Волновая функция должна быть однозначной, конечной, и непрерывной во всей области изменения ; ее производная так же должна быть непрерывной. Кроме того, волновая функция должно отвечать условию нормировки, которое для одномерной задачи имеет вид:

.

(9.6)

Условие непрерывности требует непрерывности функции на границах областей, следовательно:

.

Подставим граничные условия в точке в общее решение уравнения:

, отсюда .

и волновая функция будет иметь вид:

.

Подставим граничные условия в точке в волновую функцию:

.

т.к. , выполнение условия возможно только если , следовательно:

.

Из полученного условия следует, что волновое число , может принимать только дискретные значения, а так как оно определяет полную энергию частицы, то полная энергия электрона может тоже принимать только дискретные значения: , Þ

.

(9.7)

Таким образом, мы, учитывая граничные условия, нашли энергию электрона и вид волновой функции:

.

(9.8)

Воспользуемся условием нормировки и тем, что электрон локализован в области , т.е. не равна нулю только волновая функция, описывающая движение электрона в этой области

, Þ , Þ , Þ , Þ , Þ , Þ , Þ .

Зная значения постоянных, запишем частное решение уравнения Шредингера, волновую функцию, описывающую движение электрона в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной :

.

(9.9)

Физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля. Квадрат модуля нашей волновой функции задает плотность вероятности нахождения электрона в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме:

.

На графиках представлена зависимость плотности вероятности от координаты. Графики построены для различных состояний электрона. В основном состоянии при , вероятнее найти электрон в центре потенциальной ямы, а не у ее стенок. В состоянии , вероятнее найти электрон в центре первой или второй половины ямы, нежели у ее стенок или центра. В состоянии , вероятнее найти электрон в середине первой, второй или третьей четверти ямы.

Вероятность найти электрон в области :

.

(9.10)

Вероятность найти электрон в области ограниченной отрезком внутри потенциальной ямы:

.

(9.11)

Таким образом, решив уравнение Шредингера для электрона, находящегося в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной l, мы нашли волновую функцию, описывающую состояние электрона, энергию электрона и вероятность нахождения электрона в какой-то части потенциальной ямы.

Задачи

1. (3.40Иа/я) Частица массой находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Координата частицы может меняться в пределах , где − ширина ямы. Показать, что собственные значения энергии частицы и ее нормированные собственные функции имеют вид: и , где

2. (5.125И) Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины с абсолютно непроницаемыми стенками . Найти вероятность пребывания частицы в области: а) ; б) . (Ответ: а) ; б) .)

3. (5.124И) Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти ширину ямы , если разность энергии между уровнями с и составляет эВ. (Ответ: нм.)

4. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины с абсолютно непроницаемыми стенками . Найти средние значения проекции импульса частицы и кинетической энергии частицы .

5. (5.159Б) Состояние частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины , задано пси-функцией . Убедившись в том, что эта функция удовлетворяет граничным условиям, найти нормировочный коэффициент . (Ответ: .)

6. (5.160Б) Обладает или нет определенной энергией частица, состояние которой задано в задаче 5? В случае отрицательного ответа сформулировать общее выражение для: а) вероятности найти при измерении энергию частицы равной энергии собственного состояния с номером : ; б) средней энергии частицы . (Ответ: нет, так как функция не является собственным решением уравнения Шредингера для частицы в яме; а) разложим заданную пси-функцию в ряд по собственным решениям : , тогда вероятность получить при измерении энергию частицы, равной , ; б) .)

7. (5.161Б) Воспользовавшись результатами задач 5 и 6, найти вероятность того, что при измерении энергия частицы окажется равной . Чему равна вероятность получить при измерении отличное от значение энергии частицы? (Ответ: ; .)

8. (5.141И) Волновая функция частицы массы для основного состояния в одномерном потенциальном поле имеет вид , где и − некоторые постоянные. Найти с помощью уравнения Шредингера постоянную и энергию частицы в этом состоянии. (Ответ: , , где .)

9. (5.142И) Частица массы находится в одномерном потенциальном поле в стационарном состоянии , где и − некоторые постоянные . Найти энергию частицы и вид , если . (Ответ: , .)

10. (5.154И) Частицы с массой и энергией движутся слева на потенциальный барьер (рис.1). Найти: а) коэффициент отражения этого барьера при ; б) эффективную глубину проникновения частиц в область при , т.е. расстояние от границы барьера до точки, где плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в раз. (Ответ: а) , где ; б) , где .)

11. (5.155И) Для электрона с энергией найти вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер, ширина которого и высота (рис.2). (Ответ: .)