Лекція 8. Динаміка механічної частини ПР. Динамічний аналіз. Складання рівнянь руху маніпулятора у загальних координатах

Під динамічним аналізом механічної частини ПР розуміють складання рівнянь руху маніпулятора. Скористаємося вивченим у курсі “Теоретична механіка” способом складання рівнянь руху за допомогою рівнянь Лагранжа ІІ виду.

У загальному випадку рівняння Лагрнажа ІІ виду записується так:

(8.1)

де L = W_к – W_п – функція Лагранжа, W_к – кінематична енергія системи, W_п – потенційна енергія системи, q_і – і-та узагальнена координата, _і – швидкість і-тої узагальненої координати, N_і – і-та узагальнена сила.

Процедура складання рівнянь руху починається із знаходження узагальнених сил у механічній системі зі стаціонарними геометричними зв’язками з n ступенями свободи, що знаходяться під дією сил F_j (j = 1, 2, …, m), прикладених у m точках. На основі викладених вище методів координатних перетворень для кожної j–тої точки прикладання сили можна знайти рівняння зв’язку в такому вигляді:

R_xj = f_xj(q₁, q₂, …, q_i);

R_yj=f_yj(q₁, q₂, …, q_i); (8.2)

R_zj = f_zj(q₁, q₂, …, q_i).

При максимально малих змінах (варіаціях) узагальнених координат δ q₁, δ q₂, …, δ q_n можливі переміщення точок j знаходяться як повні диференціали рівнянь зв’язку (функції f_xj, f_yj, f_zj) від незалежних змінних q₁, q₂, …, q_i.

(8.3)

(8.4)

(8.5)

Тут доцільно зауважити, що можливим переміщенням цієї системи називається будь–яке елементарне переміщення, що допускається у даний момент накладеним на систему зв’язками.

Якщо необхідно позначити проекції сили F_j у j–тій точці на осі координат F_xj, F_yj, F_zj, то елементарна робота цієї сили в узагальнених координатах виразимо таким чином:

де δ R_j – вектор елементарного переміщення ланки у j-тій точці або варіація радіус-вектора δ R_(j) j-ї точки у вибраній системі координат.

γ _j – кут між вектором сили F_j, що прикладена до j-ї точки, і вектором δ R_(j).

Сума всіх елементарних робіт, що діють на систему сил, виражена у загальнених координатах, дорівнює:

де узагальнену силу в і–тій координаті знаходимо

Узагальнені сили можна знаходити за цією формулою, а можна таким способом, що іноді більш зручний для розв’язання задач. Системі дається таке можливе переміщення, при якому тільки варіація однієї узагальненої координати не рівна 0 δ q_k ≠ 0, а усі наступні δ q_i = 0 (і ≠ k). При цьому визначаємо суму елементарних робіт усіх сил на цьому переміщенні і беремо відношення

. (8.6)

У загальному випадкові розмірність узагальненої сили не збігається із розмірністю сили. Так, елементарна робота моментів сил виражається у [Н× м× рад], варіації узагальненої координати в [рад] і N будуть мати розмірність моментів [Н× м].

Умовою рівноваги системи в узагальнених координатах, як слідує із рівняння Лагранжа, повинна бути рівність нулю всіх узагальнених сил, тобто сума елементарних робіт на всякому можливому переміщенні повинна дорівнювати нулю (приймають ідеальні зв’язки – без утрат).

Найбільш складним у процедурі складання рівнянь руху є вираз кінематичної енергії як функції узагальнених координат. Кінетична енергія системи в загальному випадку рівна сумі кінетичних енергій окремих ланок, що становить систему

W_к = Σ W_кі,

Якщо вважати, що кожна наступна ланка робить просторовий рух, то його кінетична енергія може бути отримана як сума кінетичних енергій поступально рухомого центра мас і обертального руху ланки навколо цього центра.

де m_i – маса і-тої ланки, V_і – лінійна швидкість центра мас, j_i – момент інерції і-тої ланки відносно осі обертання, що проходить через центр мас, ω _і – абсолютна кутова швидкість навколо цієї ж осі.

Кінетична енергія деякої точки і-тої ланки масою dm_і, що має радіус-вектор R, зв’язаний з початком координат абсолютної системи 0xyz, запишемо у вигляді:

Квадрат модуля вектора швидкості можна знайти як скалярний добуток двох векторів швидкості –

,

де tr – слід матриці, рівний сумі її діагональних членів з однаковими індексами tr(A) = , R^T – трансформована матриця швидкості, яка має вигляді:

Підставивши , отримаємо

Кінетична енергія і–тої ланки рівна

Підставивши сюди вираз для , отримаємо:

де Н_і = – матриця інерції і-тої ланки.

Отже, кінетична енергія системи визначається співвідношенням:

.

Потенційна енергія системи W_п створюється силами ваги ланок механічної системи, для і–тої ланки, масою m_і вона дорівнює:

W_пі = m_igΔ h_і,

де g – прискорення вільного падіння, Δ h_і – висота підйому центра мас і–тої ланки.

Окрім сил ваги, слід ураховувати протидіючі їм сили механізмів урівноважування. Так, для пружин потенційна енергія сил пружності рівна:

де С_φ – потсійна пружини, Δ φ – кут її закручення.

Потенційна енергія маніпулятора в полі сил тяжіння при вертикально напрямленій осі 0z визначається співвідношенням:

,

де G^Т = [0, 0, g, 0]^Т – вектор прискорення вільного падіння;

R_іцм – радіус-вектор центра мас і-тої ланки у зв’язаній з ним системі координат.

Підставивши знайдені значення енергій у загальне рівняння Лагранжа і виконавши диференціювання, отримаємо рівняння Лагранжа ІІ виду для маніпулятора у явному вигляді:

k = 1, 2, …, n.