Лекція 4 . Системи основних координатних переміщень. Поняття однорідних координат

4.1. Система основних координатних переміщень

До основних координатних переміщень належать усі орієнтуючі рухи механічної системи і додаткові переміщення ПР без урахування рухів захвату.

Рис.4.1. Прямокутна плоска система координат (а); структурна кінематична схема ПР (б); форма робочих зон (а)

Рис.4.2. Прямокутна просторова система координат (а), структурна схема ПР (б_, форми робочих зон (а)

Рис.4.3. Полярна плоска система координат (а), структурна кінематична схема ПР (б), форми робочих зон (а)

Рис.4.5. Полярна сферична система координат (а), форми робочих зон з урахуванням обмежень координат (б), структурна кінематична схема ПР (в)

Рис.4.7. Ангулярна циліндрична система координат (а), форми робочих зон з урахуванням обмежень координат (б), структурна кінематична схема ПР (в)

Рис.4.8. Ангулярна сферична система координат (а), форми робочих зон з урахуванням обмежень координат (б), структурна кінематична схема ПР (в)

Системи координат розділяються на прямокутні й криволінійні. У прямокутних системах об’єкт маніпулювання переміщується тільки шляхом прямолінійних поступальних рухів ланок механічної системи ПР по двох (рис.4.1.) або трьох (рис.4.2) взаємно-перпендикулярних осях (0Х, 0У, 0Z). У криволінійних системах наявні обертальні рухи ланок механічної системи ПР відносно якої-небудь з осей 0Х, 0У, 0Z. Найбільш розповсюджена плоска (рис.4.3, 4.6), циліндрична (рис.4.4, 4.7) і сферична (рис.4.5, 4.8) системи.

У плоскій полярній системі (рис.4.3) переміщення об’єкта відбуваються в одній координатній площині х0у, у0z, z0х у напрямках вектора r або кута φ. У циліндричній системі (рис.4.4) об’єкт переміщується в основній координатній площині х0у в напрямках r i φ, а також по нормалі до неї в напрямку осі 0z. У сферичній (полярній) системі (рис.4.5) об’єкт маніпулювання переміщується в просторі за рахунок руху руки на величину r та її кутових переміщень φ і θ у двох взаємно перпендикулярних площинах.

Різновидами криволінійної системи є плоска ангулярна (рис.4.6), просторово–циліндрична (рис.4.7) і сферична (рис.4.8) системи координат. У ангулярній системі координат працюють багатоланкові шарнірні руки ПР та маніпуляторів.

В ангулярній плоскій системі об’єкт маніпулювання переміщується в одній з координатних площин, наприклад, х0у, як показано на рисунку.4.6, завдяки відносним поворотам ланок руки, що мають незмінну довжину.

Ангулярна циліндрична система характеризується додатковим зміщенням відносно основних координатних площин у напрямку, перпендикулярному до неї координатної осі (0z на рис.4.7).

В ангулярній сферичній системі координат переміщення об’єкта у просторі проходить тільки за рахунок відносних кутових поворотів ланок руки, при цьому хоча б одна ланка має можливість повороту на кути φ і θ у двох взаємно перпендикулярних площинах (на рис.4.8 обидві ланки можуть повертатися на кути φ і θ).

Розподіл відомих моделей ПР залежно від системи основних координатних переміщень у наш час:

– плоска прямокутна – 12%;

– просторова прямокутна – 8%;

– плоска полярна – 2, 5%;

– циліндрична – 58, 5%;

– сферична – 11%;

– ангулярна плоска – 0, 5%;

– ангулярна циліндрична – 5%;

– ангулярна сферична – 2, 5%.

Як видно з наведених даних, найбільша кількість моделей ПР працюють у сферичній системі координат, разом з цим в наступні роки спостерігається тенденція зростання числа конструкцій ПР, що використовують ангулярні системи координат.

4, 2. Поняття узагальнених координат

Однорідними координатами деякої точки простору а декартової прямокутної системи координат 0xyz є будь-які чотири числа а₁, а₂, а₃, а₄, що одночасно не рівні нулю і задовольняють співвідношення: а₄ ≠ 0; х = а₁/а₄; у = а₂/а₄; z = а₃/а₄.

Однорідні координати вводяться для зручності запису координатних перетворень. Вони дозволяють у єдиному виді записати як лінійні, так і кутові перетворення.

Основні операції над векторами, заданими в однорідних координатах, виконуються згідно з наступними правилами:

1. Додавання

А ± В = С,

де вектор С має координати , причому с₄ – будь–яке число, не рівне нулю; і = 1, 2, 3…

2. Множення на скаляр

.

3. Модуль (довжина) вектора

.

4. Скалярний добуток

,

де γ – кут між векторами А і В.

5. Векторний добуток

.

Звідси слідує, що однорідні координати вектору рівні:

с₁ = а₂b₃ – a₃b₂; с₂ = а₃b₁ – a₁b₃; с₃ = а₁b₂ – a₂b₁; с₄ = а₄b₄.

За допомогою однорідних координат можна задати будь-яку точку в просторі або лінію, наприклад (рис.1, а):

початок координат – (0, 0, 0, 1);

вектор і (вісь 0х) – (1, 0, 0, 0);

вектор j (вісь 0у) – (0, 1, 0, 0);

вектор k (вісь 0z) – (0, 0, 1, 0);

точка а (система 0xyz) – (3, 4, 5, 1);

точка а (система 0^/x^/y^/z^/) – (6, 8, 10, 2).

В однорідних координатах існує неоднозначність запису координати однієї і тієї ж точки у просторі, наприклад, точка а (рис.1, а), як записано вище, може бути визначена по-різному, що пов’язане зі зміщенням початку однорідних координат по всіх осях на відстань, рівну величині а_і× (а₄ = 1) (рівнозначне зміні масштабу рисунка).

Розглянемо координатні перетворення в загальному вигляді. Уявимо, що координати деякої точки а (рис.9) у однорідних координатах системи 0xyz описуються радіус-вектором А = [а₁, а₂, а₃, а₄]^γ , тоді радіус-вектор А^/ = [а₁^/, а₂^/, а₃^/, а₄^/]^γ тієї ж точки у системі 0^/x^/y^/z^/ буде зв’язаний з першим співвідношенням:

а₁^/ = t₁₁а₁ + t₁₂а₂ + t₁₃а₃ + t₁а₄;

а₂^/ = t₂₁а₁ + t₂₂а₂ + t₂₃а₃ + t₂а₄;

а₃^/ = t₃₁а₁ + t₃₂а₂ + t₃₃а₃ + t₃а₄;

а₄^/ = а₄.

Або у матричному вигляді

,

де Т – матриця лінійного перетворення координат від системи 0xyz до системи 0^/x^/y^/z^/.

Будь-яке перетворення координат може бути розбите на послідовні операції переносу вздовж і повороту навколо осей 0х, 0у, 0z. Матриця Т₁ для лінійного переносу, наприклад, уздовж осі 0у на відстань ℓ ₂ має вигляд:

;

Відповідні координатні перетворення показані на рисунку.9, б.

На рисунку.9, в наведені координатні перетворення навколо осі 0z на кут +θ; відповідна такому перетворенню матриця має вигляд Т₂.