Очевидно, что при одинаковых величинах S и Р учетная ставка будет меньше ставки наращения. Запишем формулу расчета Р при известных S и d.

P = S(1- d).

Эта формула справедлива при годичном сроке векселя. Пусть срок действия векселя n лет, где n – неотрицательное число, в том числе дробное. Формула для расчета Р примет вид: P = S(1-nd). Видно, что n и d могут быть такими, что может оказаться

nd > 1 и Р станет меньше нуля. Это, конечно же, невозможно: никто не согласится

отдать вексель, да еще уплатить за это сумму, равную S(nd-1). Поэтому дисконтирование применяют так, чтобы было 1 > nd > 0.

Номинальная и реальная ставки процента

Пусть ссуда P выдана под ставку процента i на год. Через год нужно вернуть эту ссуду с процентами S=P(1 + i). Если имеет место инфляция с темпом j, то за год величина S обесценится.

Обозначим:

Sн – номинальная ссуда с процентами;

Sр – реальная ссуда с процентами, т.е. покупательная способность Sн;

R – реальная ставка процента;

I – номинальная ставка процента;

J – темп инфляции.

С учетом принятых обозначений, формулы наращения примут вид:

Sн = P(1 + i);

SP = P(1 + r);

Sн = SP (1 + j) = P(1 + r)(1 + j).

Последнюю формулу нужно понимать так: ссуда Р за год реально выросла по ставке r и за счет инфляции по темпу инфляции j. Вместо Sн подставим ее значение:

P(1 + i) = P(1 + r) (1+ j) или (1 + i) = (1 + r)(1 + j)

Это точная формула расчета реальной ставки процента по известным величинам номинальной ставки процента и темпу инфляции. При низких темпах инфляции применяют приближенную формулу r = i - j. При значительной инфляции нужно применять точную формулу.

Сложные проценты

Если ссуда выдана на некоторый срок и проценты начисляются один раз в конце этого срока, то простые и сложные проценты не различаются, наращенная ссуда будет одной и той же. Эффект сложных процентов возникает тогда, когда срок ссуды разбит на несколько интервалов, в конце каждого интервала начисляются проценты и присоединяются к сумме, накопленной на начало интервала.

Простые проценты начисляются на начальную величину ссуды, сложные – на ссуду с наращением на момент начисления процентов., когда ссуда выдана на целое число лет, а сложные проценты начисляются раз в год.

Обозначим:

Р – ссуда;

J – годовая ставка сложных процентов;

N – номер года;

Sn – наращенная ссуда в конце года n;

S1=P(1+j);

S2=S1(1+j)=P(1+j)2.

По индукции:

Sn=P(1+j)n.

Формула выведена для целого n, но она справедлива для любого не отрицательного действительного числа n.

В банковской практике начисление сложных процентов по депозитам производится несколько раз в год – за месяц, квартал, полугодие. При этом по ставке за интервал нужно вычислять годовую доходность и наоборот, - по годовой ставке процента определять эквивалентную по доходу ставку на интервал менее года.

Обозначим: