Расчет индексов сезонности за ряд лет

При наличии месячных данных за ряд лет расчет индексов сезонности можно осуществить по-разному. Рассмотрим несколько способов.

1. По данным ряда лет рассчитывается среднее значение уровня для каждого месяца , а также средний месячный уровень за весь период . Затем определяются индексы сезонности как процентное отношение средних уровней для каждого месяца к общему среднему месячному уровню всего ряда (за все годы), то есть по

формуле

(3.7)

Например, по данным табл. 3.3 за 2 года получим следующие средние уровни по месяцам:

в январе кг;

в феврале кг;

в марте кг.

Средний месячный уровень за 2 года

тыс. т. кг.

Отсюда индексы сезонности :

в январе ;

в феврале ;

в марте .

Данный метод используется в основном в тех случаях, когда уровни одноименных месяцев в разные годы отличаются незначительно.

Если же наблюдается тенденция к увеличению или снижению уровней из года в год, то эффективнее рассчитывать индексы сезонности по следующей схеме.

2. Для каждого года отдельно рассчитываются индексы сезонности по формуле 3.5, то естькак , а затем из индексов одноименных месяцев находится средняя арифметическая.

Покажем этот метод на примере данных табл. 3.3. Рассчитаем индексы сезонности для 2007г. так же, как для 2006г.

В 2001 г. средний месячный уровень составил 87, 3 тыс.т. Отсюда месячные индексы сезонности 2001 г:

в январе ;

в феврале ;

в марте и т.д.

Зная месячные индексы сезонности за 2006 г. (табл. 3.5) и за 2007 г., определяем из них для каждого месяца среднюю арифметическую, которую и принимаем в качестве обобщенной меры сезонных колебаний:

в январе ;

в феврале ;

в марте и т. д.

3. Следующий прием измерения сезонных колебаний при наличии тренда в данных за ряд лет основан на сопоставлении фактических месячных (или квартальных) уровней либо со сглаженным методом скользящей средней, либо с выровненными определенной аналитической формуле.

В первом случае месячные данные за ряд лет сглаживаются 12-месячной скользящей средней (при квартальных данных – 4-квартальной скользящей средней). Затем фактические уровни каждого месяца (или квартала) выражают в процентах к скользящей средней.

На основе таких отношений (индексом сезонности) за ряд лет находится средняя арифметическая для каждого месяца (или квартала). Полученные усредненные индексы сезонности и являются искомыми, характеризующими «сезонную волну».

Аналогично рассчитываются индексы сезонности и во втором случае на основе сопоставления фактических уровней с выровненными по аналитической формуле. Здесь та же последовательность расчетов с той лишь разницей, что вместо сглаженных скользящих средних сначала находится уравнение тренда и по нему рассчитываются выровненные (теоретические) уровни . Затем определяется отношение фактических уровней к выровненным, то есть

рассчитываются индексы сезонности для каждого месяца (или квартала):

. (3.8)

Поскольку за п лет отдельные месяцы повторяются, значения месячных индексов сезонности для отдельных лет усредняются.

Рассмотрим этот метод расчета индексов сезонности по отношению к тренду на условном примере динамики объема строительных работ в одном из районов города по кварталам за 3 года. Исходные данные и последующие расчеты показаны и табл. 3.6.

Предполагая, что фактические уровни у (графа 2 табл. 3.6) имеют линейный тренд, иведя счет времени от начала ряда (t=1, 2, 3,...), подсчитываем все необходимые суммы в таблице (графы 2–5). По этим суммам и определяем параметры а₀ и f_lj, решая систему нормальных уравнений:

, то есть

или сразу по формулам

Отсюда уравнение тренда

Подставляя в него значения t=1, 2,..., 12, находим выровненные уровни , (с точностью до одной десятой) (графа 6 табл. 3.6).

Отношения фактических уровней (графа 2) к выровненным (теоретическим) (графа 6) и являются индексами сезонности (графа 7) по отношению к тренду.

Поскольку квартальные индексы в разные годы различны, они усредняются. Например, для I квартала =(89, 7 + 89, 6 + 85, 8)73 = 88, 4, для II квартала =(91, 7 + 96, 3 + 97, 4)73–95, 1 и т. д.

Усредненные значения записываются в качестве искомых индексов сезонности для всех трех лет (графа 8).

Умножая выровненные уровни на средние индексы сезонности, получаем теоретические (выровненные) уровни с учетом «сезонной волны» (графа 9).

Таблица 3.6. Расчет величин для определения индексов сезонности по отношению к тренду

Год	Квар-тал	Выпол-нено работ, млн. руб.	Вре-мя t	t2	yt	Выровненные уровни	Индекс сезонности, %	Сред- ний индекс сезон-ности	Выров–ненные уровни с учетом сезон–ности
А
	I II III IV	11, 3 12, 2 17, 5 14, 4			11, 3 24, 4 52, 5 57, 6	12, 6 13, 3 14, 0 14, 7	89, 7 91, 7 125, 0 98, 0	88, 4 95, 1 121, 3 95, 1	11, 1 12, 6 17, 0 13, 9
	I II III IV	13, 8 15, 6 20, 2 17, 4			69, 0 93, 6 141, 4 139, 2	15, 4 16, 2 16, 9 17, 6	89, 6 96, 3 119, 5 99, 0	88, 4 95, 1 121, 3 95, 1	13, 6 1, 4 20, 5 16, 7
	I II III IV	15, 7 18, 4 23, 5 18, 0			141, 3 184, 0 258, 5 216, 0	18, 3 18, 9 19, 7 20, 4	85, 8 97, 4 119, 3 88, 2	88, 4 95, 1 121, 3 95, 1	16, 1 17, 9 23, 9 19, 4
		198, 0			1388, 8	198, 0	1199, 5 (1200)	1199, 7 (1200)	198, 1