Выравнивание рядом Фурье

Особое место в аналитическом выравнивании динамических рядов занимает выравнивание с помощью ряда Фурье, в котором уровни можно выразить как функцию времени следующим уравнением:

. (3.1)

Выравнивание по формуле (9.1) рекомендуется проводить в тех случаях, когда в эмпирическом ряду наблюдается периодичность изменений уровней. В этом случае периодические колебания уровней динамического ряда можно представить в виде синусоидальных колебаний. Поскольку последние представляют собой гармонические колебания, то синусоиды, полученные при выравнивании по ряду Фурье, называют гармониками различных порядков. Показатель k в уравнении (3.1) определяет число гармоник. Обычно при выравнивании по ряду Фурье рассчитывают несколько гармоник (чаще не более 4) и затем уже определяют, с каким числом гармоник ряд Фурье наилучшим образом отражает изменения уровней ряда.

При выравнивании по ряду Фурье периодические колебания уровней динамического ряда представлены в виде суммы нескольких синусоид (гармоник), наложенных друг на друга.

Так, например, при k=1 ряд Фурье будет иметь вид

а при k=2 соответственно

.

Параметры уравнения теоретических уровней, определяемого рядом Фурье, находят, как и в других случаях, методом наименьших квадратов. Приведём без вывода формулы, используемые для исчисления параметров ряда Фурье:

(3.2)

Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением (приростом), равным – , где п – число уровней эмпирического ряда.

Например, при п=10 временные точки t можно записать следующим образом:

или (после сокращения)

При n=12 значения t, соответственно, будут

.

Значения sin kt и cos kt удобно расположить в таблице. Например, в табл. 3.1, приведены значения sin kt и cos kt (k=1 k=2) для п=12.

Выравнивание по ряду Фурье часто даёт хорошие результаты в рядах, содержащих сезонную волну.

Проиллюстрируем выражение по ряду Фурье на условном примере данных о продаже зимней одежды в одном из районов города в отчетном году.

Таблица 3.1. Значения коэффициентов в разложении (9.1) для п=12

t	cos t	cos 2t	sin t	sin 2t
π /6 π /3 π /2 2π /3 5π /6 π 7π /6 4π /3 3π /2 5π /3 11π /6	0.866 0.5 -0.5 -0.866 -1 -0.866 -0.5 0.5 0.866	0.5 -0.5 -1 -0.5 0.5 0.5 -0.5 -1 -0.5 0.5	0.5 0.866 0.866 0.5 -0.5 -0.866 -1 -0.866 -0.5	0.866 0.866 -0.866 -0.866 0.866 0.866 -0.866 -0.866

 

Таблица 3.2. Сводная таблица расчётных разложений

Месяц	t	Продано, тыс. руб. y	y cos t	y sin t		y cos 2t	y sin 2t
	π /6 π /3 π /2 2π /3 5π /6 π 7π /6 4π /3 3π /2 5π /3 11π /6		37.0 34.64 22.0 -23.0 -60.62 -60.0 -41.57 -23.0 18.0 30.31	20.0 38.1 52.0 39.84 35.0 -24.0 -39.84 -38.0 -31.17 -17.5	39.3 45.5 51.7 56.5 58.4 57.0 52.7 46.5 39.3 35.5 33.6	-22 -52 -23 -23 -38 -18 17.5	34.64 38.1 -39.84 -60.6 41.57 39.84 -31.18 -30.31	37.9 39.6 43.0 43.8 56.2 61.0 59.9 53.0 44.0 36.4 35.2 36.2
n=12			-66.24	34.43	551.0	17.5	-7.78	551.2

 

В табл. 3.2 приведены исходные и расчеты показателей, необходимых для получения уравнения первой гармоники (k=1). Итак,

Отсюда

.

Подставляя в данное уравнение значения cos t и sin t (из табл. 3.1), получаем теоретические значения объема продажи по месяцам, показанные в графе «у_t» табл. 9.2. Как видно, теоретические значения y_t, рассчитанные по уравнению первой гармоники, заметно отличаются от эмпирических у. Поэтому попытаемся определить уравнение второй гармоники, то есть

Необходимые расчеты также приведены в табл. 3.2.

Находим параметры а₂ и b₂:

Отсюда уравнение второй гармоники

Подставляя в данное уравнение значения cos t, sin t, cos 2t, sin 2t (из табл. 3.1), получаем теоретические значения (см. последнюю графу табл. 3.2).

Нетрудно заметить, что теоретические значения , рассчитанные по уравнению второй гармоники, более близки к эмпирическим уровням, чем . Об этом свидетельствует и сумма квадратов отклонений теоретических значений от эмпирических:

Аналогично рассчитывают параметры уравнения с применением третьей и четвертой гармоник и проверяют близость теоретических значений к эмпирическим.

В заключение отметим, что выравнивание играет важную роль в анализе рядов динамики. Правильный подбор типа кривой для определения тренда представляет не только теоретический, но и практический интерес, в частности при прогнозировании.

Следует отметить, что найденные уравнения тренда часто используют для прогнозирования методом экстраполяции, то есть распространения в будущее закономерности развития, выявленной в прошлом, в исследованном периоде. Однако экстраполировать ряд по уравнению тренда можно только тогда, когда есть уверенность в том, что выявленная и описанная уравнением тренда закономерность развития устойчива и сохранится и будущем, то есть что условия, в которых происходили изучаемые явления в определенном периоде и в прошлом, стабильны и предположительно не изменятся и в ближайшем будущем, на которое экстраполируется ряд.