Пример выполнения задачи. Задача 1. В партии 10% нестандартных деталей

Задача 1. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 2 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х - числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

Решение. Дискретная случайная величина Х - число нестандартных деталей среди двух отобранных принимает следующие значения:

х₁=0 - все детали стандартны из двух отобранных;

х₂=1 - одна из двух отобранных деталей не стандартна;

х₃=2 - обе отобранные детали нестандартны. Так как вероятность отбора нестандартной детали p=0, 1 постоянная, то для определения вероятностей в соответствии с биномиальным законом распределения воспользуемся формулой Бернулли:

P_n(k)= p^kq^n-k, где q=1- p=0, 9.

P₂(0)= C (0, 1)⁰ (0, 9)²=0, 81,

P₂(1)=C 0, 1 0, 9=0, 18,

P₂(2)=C (0, 1)²(0, 9)⁰=0, 01.

Проверяем условие нормировки =1.

Имеем, что 0, 81+0, 18+0, 01=1.

Искомый биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

По формуле:

.

Тот же результат можно было получить, используя формулу

для нахождения математического ожидания биномиально распределенной дискретной случайной величины X.

n = 2 - число испытаний;

p = 0, 1 - вероятность успеха в каждом испытании;

M(X) = 2 × 0, 1 = 0, 2.

Дисперсию найдем по формуле:

.

По формуле для дисперсии биномиального закона:

.

Задача 2. В урне лежат 5 шаров. Из них 3 белых и 2 черных. Построить закон распределения случайной величины Х – числа белых шаров среди 2 отобранных.

Решение. Среди 2 отобранных шаров белых может быть 0, 1 или 2. Значит, значения случайной величины . Вероятность того, что найдем как вероятность того, что среди 2 отобранных шаров белых будет 0, а черных 2. По классическому определению вероятности .

Здесь - число способов, сколькими можно из 5 шаров выбрать любые 2 – общее число исходов эксперимента.

- число способов выбрать 0 белых шаров среди 3 белых.

- число способов выбрать 2 черных шара среди 2 черных.

Тогда .

Вероятность того, что найдем аналогично

Проверяем условие нормировки . Тогда, закон распределения Х примет вид

Задача 3. Дискретные случайные величины X и Y независимы и заданы распределениями:

Найти распределение случайной величины Z = X + Y.

Решение. Найти закон распределения дискретной случайной величины, значит перечислить все ее возможные значения и рассчитать вероятности, с которыми она эти значения принимает. Значения случайной величины Z получаются путем сложения всех возможных попарных комбинаций значений случайных величин Х и Y.

0+1=1 0+2=2 1+1=2 1+2=3

Таким образом, Z принимает три возможных значения: 1, 2 и 3. Найдем вероятности принятия величиной Z этих значений.

Так как Z принимает свое значение 1, тогда и только тогда, когда Х принимает значение 0, а Y - значение 1, то случайное событие Z=1 является произведением независимых (из-за независимости Х и Y по условию) случайных событий Х=0 и Y=1. Используя теорему умножения вероятностей независимых событий имеем:

P(Z=1)=P{(X=0)(Y=1)}=P(X=0)P(Y=1)=0, 4 0, 2=0, 08= .

Так как Z принимает свое значение 2 либо когда X=0, а Y=2, либо когда X=1, а Y=1, причем одновременно это происходить не может, то событие Z=2 – является суммой несовместных событий (X=0)(Y=2) и (X=1)(Y=1), и его вероятность можно найти с помощью теоремы сложения вероятностей несовместных событий:

P(Z=2)=P{(X=0)(Y=2)+(X=1)(Y=1)}=P{(X=0)(Y=2)}+P{(X=1)(Y=1)}=

=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)=0, 4 0, 8+0, 6 0, 2=0, 32+0, 12=0, 44= .

Рассуждая аналогично, найдем:

P(Z=3)=P{(X=1)(Y=2)}=P(X=1)P(Y=2)=0, 6 0, 8=0, 48= .

Проверим выполнение условия нормировки: =0, 08+0, 44+0, 48=1.

Таким образом, искомый ряд распределения имеет вид:

Варианты задачи 4.

1. Два стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0, 6, для второго - 0, 8. Составить таблицу распределения для числа попаданий в мишень. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

2. Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:

Найти распределение случайной величины Z = X + Y.

3. Даны законы распределения 2-х независимых случайных величин:

Составить закон распределения их разности, а затем проверить выполнение следующих свойств математического ожидания и дисперсии:

M(X-Y) = M(X) - M(Y); D(X-Y) = D(X) + D(Y).

4. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных.

5. Дан закон распределения случайной величины X:

Составить законы распределения случайных величин и 3x и найти среднеквадратическое отклонение случайной величины X.

6. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать закон распределения биномиальной дискретной случайной величины X - числа нестандартных деталей среди 4-х отобранных и построить функцию распределения.

7. Устройство состоит из 3-х независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте 0, 1. Составить биномиальный закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Построить функцию распределения.

8. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди 2-х отобранных и построить функцию распределения.

9. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании 2-х игральных костей.

10. Составить таблицу распределения вероятностей для суммы очков, выпавших при бросании 2-х игральных костей.

11. Составить таблицу распределения для числа попаданий в мишень при 3-х выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна .

12. Найти функцию распределения для числа выпадений герба при 2-х подбрасываниях монеты и построить ее график. Найти математическое ожидание и дисперсию величины X.

13. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа нестандартных деталей среди 2-х отобранных и дисперсию.

14. Найти математическое ожидание случайной величины Х - числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 6 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0, 3.

15. Составить функцию распределения для числа выпадений герба при 2-х подбрасываниях монеты и построить ее график.

16. Два спортсмена кидают мяч в корзину. Вероятность попадания в нее первым спортсменом равна 0, 5; вторым - 0, 4. Составить закон распределения числа попаданий в корзину.

17. Даны законы распределения 2-х независимых случайных величин:

Составить закон распределения их произведения. Проверить выполнение следующего свойства математического ожидания M(XY) = M(X) M(Y).

18. Три стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0, 6, для второго и третьего - 0, 8. Составить таблицу распределения для числа попаданий в мишень. Найти функцию распределения и построить ее график.

19. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0, 4. Производится шесть выстрелов. Составить закон распределения числа: а) попаданий; б) непопаданий в цель.

20. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Найти распределение случайной величины Z = X + Y.