Примеры решения задач. Задача 1. Выпущено 100 лотерейных билетов, причем установлены призы, из которых 8 по 1 руб., 2- по 5 руб

Задача 1. Выпущено 100 лотерейных билетов, причем установлены призы, из которых 8 по 1 руб., 2- по 5 руб. и 1-10 руб. Найти вероятность того, что купленный билет выиграл: а) 5 рублей; б) не более 5 рублей.

Решение: а) Для определения искомой вероятности используем формулу классического определения вероятности Р(A)= . Определим общее число исходов n. Оно равно числу выпущенных билетов-100. Определим благоприятное число исходов m. Оно равно числу лотерейных билетов с выигрышем в 5 рублей, т.е. 2. Тогда искомая вероятность равна: Р(А)= = =0, 02.

б) Условие выигрыш “не более 5 рублей” означает, что купленный билет должен иметь либо выигрыш, равный 1 рублю (таких билетов 8), либо выигрыш, равный 5 рублям (таких билетов 2).В данном случае общее число исходов, как и в пункте а) равно 100, а число благоприятных исходов равно 10=8+2. Тогда искомая вероятность равна: Р(А)= = =0, 1.

Задача 2. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

Решение. Для решения указанной задачи воспользуемся классическим определением вероятности

Р(A)= ,

где А - событие, состоящее в том, что отобраны по табельным номерам три женщины и четверо мужчин; m- число исходов, благоприятствующих появлению событию А; n- общее число исходов. Общее число возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать семь человек из десяти. Число способов определяется по выражению:

.

Число исходов, благоприятствующих появлению события А, определяется числом способов, которым можно отобрать трех женщин из четырех, т.е. и четырех мужчин из шести, т.е. . Следовательно, число исходов, благоприятствующих появлению события А:

m= .

Искомая вероятность:

Р(A)= = = =0, 5.

Задача 3. В квадрат со сторонами равными а наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что точка попадет внутрь вписанного в квадрат круга.

Данная задача решается с использованием формулы геометрического определения вероятности. Мерой пространства элементарных событий является площадь квадрата . Площадь круга - мера события А. . Тогда искомая вероятность будет определяться по формуле

Варианты задачи 1

1.В урне 6 белых и 4 черных шара. Какова вероятность того, что среди 5 шаров наудачу взятых из урны, будет:

а) 5 белых шаров;

б) 3 белых и 2 черных шаров;

в) 2 белых и 3 черных шаров.

2. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных двух деталей:

а) обе стандартны;

б) обе нестандартны;

в) хотя бы одна нестандартна.

3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона:

а) не содержит цифру 5;

б) делится без остатка на число 10;

в) делится без остатка на число 7.

4. Библиотечка состоит из десяти различных книг. Причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги - по одному рублю и две книги -по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу:

а) две книги стоят 5 рублей;

б) три книги стоят 6 рублей;

в) одна книга стоит 4 рубля.

5. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней:

а) одну;

б) две;

в) три.

6. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открывать.

7. Среди двадцати деталей три нестандартные. Найти вероятность того, что среди наудачу:

а) пяти взятых деталей окажется 4 стандартных и 1 нестандартная;

б) пяти взятых деталей все стандартные;

в) десяти взятых деталей девять стандартных и одна нестандартная.

8. Найти вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число делится:

а) на 8;

б) на 8 и на 3;

в) на 2, 4 и 6.

9. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется:

а) внутри вписанного в круг квадрата;

б) за пределами вписанного в круг квадрата.

10. Среди 60 лампочек 3 нестандартных. Найти вероятность того, что:

а) две взятые одновременно лампочки нестандартные;

б) в двух взятых одновременно лампочках не более двух нестандартных;

в) две взятые одновременно лампочки стандартные.

11. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет:

а) в кольцо, образованное построенными окружностями;

б) в малый круг.

12. В мешочке имеется пять одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в одну линию кубиков можно прочесть слово “спорт”.

13. Какова вероятность того, что вынутые из колоды в 36 карт:

а) 2 карты окажутся одной масти;

б) 4 карты окажутся тузами;

в) 2 карты окажутся разной масти.

14. В лотерее 100 билетов, из них 40 выигрышных. Какова вероятность того, что из трех взятых билетов окажется:

а) один выигрышный;

б) два выигрышных;

в) хотя бы один выигрышный.

15. В урне 4 белых и 8 черных шаров. Вынуто 3 шара. Какова вероятность того, что:

а) хотя бы один окажется белый;

б) хотя бы один окажется черный;

в) окажется два белых шара.

16. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что студент знает из трех вопросов, заданных ему экзаменатором:

а) только один вопрос;

б) два вопроса;

в) все три вопроса.

17. На карточках написаны буквы: А, Е, К, Р. Карточки перемешаны и разложены в ряд. Какова вероятность, что получится слово “река”.

18. В окне, размером 2 х 2 открыта форточка, размером 0, 5 х 0, 5. Какова вероятность того, что пуля случайно выпущенная по окну попадет в форточку.

19. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 4 студента. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажется:

а) 4 отличника;

б) не более двух отличников.

20. В коробке имеется 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди извлеченных двух изделий окажутся:

а) одно окрашенное изделие;

б) два окрашенных изделия;

в) хотя бы одно окрашенное изделие.

ЗАДАЧА 2