Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Линейные пространства. Подпространства линейных пространствСтр 1 из 19Следующая ⇒
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Линейные пространства. Подпространства линейных пространств Линейным пространством над множеством действительных чисел называется любое непустое множество, на котором определены: двуместная операция (обычно она называется сложением) и, для каждого действительного числа, одноместная операция (операция умножения на это действительное число), причем выполняются для любых элементов и любых действительных чисел следующие условия (аксиомы). 1. – ассоциативный закон сложения. 2. – существование нулевого элемента. 3. – существование для каждого элемента противо- положного элемента; он обозначается . 4. – коммутативный закон сложения. 5. . 6. . 7. . 8. . Элементы линейного пространства будем называть векторами. Подмножество L1 называется подпространством линейного пространства L, если вместе с любыми двумя его векторами и векторы и , где – любое действительное число, также принадлежат этому подмножеству L1 пространства L. Теоретико-множественное пересечение любого множества подпространств также является подпространством. Теоретико-множественное объединение подпространств не является подпространством, если одно из них не является подпространством другого. Пусть М – произвольное подмножество векторов пространства L. Множество всех линейных комбинаций векторов из М образует подпространство в L и называется подпространством, порожденным множеством М. Оно обозначается . Теорема 1.1.1. Подпространство совпадает с пересечением всех подпространств, содержащих множество . Подпространство, порожденное подпространствами L1 и L2, называется суммой подпространств и обозначается L1 + L2. Множество упорядоченных наборов из n действительных чисел с операциями поэлементного сложения и умножения на число называется арифметическим векторным пространством и обозначается Rn . Множество матриц размера относительно операций сложения и умножения на число образует линейное пространство и обозначается Mm, n (m – количество строк в матрицах, n – количество столбцов). В частности, совпадают пространства Rn и M1, n. Множество отображений (функций), определенных на множестве со значениями в , образует относительно операций сложения и умножения на число линейное пространство и обозначается . В частности, – линейное пространство функций, определенных на интервале . Множество многочленов (полиномов) степени не выше n от независимой переменной x образует линейное пространство и обозначается Pn(x). Более подробно теоретические вопросы можно изучить по учебникам и учебным пособиям [2, 4, 8, 9]. Задачи и упражнения можно найти в [1, 3, 5–7, 10, 11].
З а д а ч и
1. Образует ли линейное пространство множество всех матриц одинакового размера, у которых а) все элементы первой строки равны нулю; б) все элементы первой строки равны единице; в) первый столбец совпадает со вторым; г) в правом нижнем углу стоит нуль; д) все элементы – целые числа, делящиеся на 3; е) все числа одинаковы? 2. Образует ли линейное пространство множество всех функций, заданных на числовой прямой, относительно операций сложения функций и умножения функций на число, у которых а) значения в единице равны нулю; б) значения в нуле равны единице; в) все значения неотрицательны; г) в точке нуль нестрогий экстремум? 3. Образует ли линейное пространство множество всех функций, заданных на числовой прямой, относительно операций сложения функций и умножения функций на число, с условием: а) все функции ограничены; б) все функции ограничены одним числом; в) у всех функций существует производная в любой точке; г) все функции являются производными от каких-то функций? 4. Образует ли линейное пространство множество многочленов (полиномов), у которых а) (старшие) степени равны 10; б) (старшие) степени меньше 10; в) (старшие) степени больше 10; г) (старшие) степени меньше или равны 10; д) свободные члены равны нулю; е) число 2011 является корнем; ж) нет действительных корней? 5. Образует ли линейное пространство множество положительных действительных чисел, на которых в качестве операции «сложения» берется умножение, а в качестве операции «умножения на число» – возведение в степень с этим показателем? В задачах 6 – 9 найдите ненулевой вектор, который принадлежит пересечению данных подпространств , где R3. 6. 7. 8. 9. В задачах 10 – 13 найдите ненулевой вектор, который принадлежит пересечению данных подпространств , где R4. 10. 11. 12. 13. В задачах 14 – 17 покажите, что , где . 14. 15. 16. 17. В задачах 18 – 21 покажите, что , где . 18. . 19. . 20. . 21.
|