Задание 6. Модели систем массового обслуживания

Пример 6.1. Туристская фирма обслуживает клиентов по телефону, имеющему разветвление на четыре линии. Проведенные исследования показали, что в среднем за один час работы поступает 100 запросов. Среднее время переговоров референтов фирмы с клиентом по телефону составляет 2, 5 мин. Необходимо дать оценку работы такой СМО.

Решение.

1. Определим начальные данные:

число каналов ,

число мест в очереди (данная система является системой без очереди),

интенсивность поступления заявок (з/час),

среднее время обслуживания , отсюда интенсивность обслуживания равна (з/час).

2. Возможные состояния системы:

S ₀ – звонков нет (начальное состояние);

S ₁ – обслуживается один звонок;

S ₂ – обслуживаются два звонка;

S ₃ – обслуживаются три звонка;

S ₄ – обслуживаются четыре звонка (конечное состояние, т.к. в системе 4 канала).

3. Графическая модель системы представлена на рис. 6.1.

4. Относительные интенсивности переходов из состояния в состояние:

, ,

, .

5. Вероятность начального состояния:

Вероятности остальных состояний:

,

,

,

.

Проверим правильность вычислений – сумма всех вероятностей должна быть приблизительно равна 1:

.

6. Вероятность отказа:

.

Это значит, что 32, 6 % всех поступающих звонков получают отказ в обслуживании.

Вероятность обслуживания (относительная пропускная способность):

.

Т.е. обслуживаются 67, 4 % поступающих звонков.

7. Абсолютная пропускная способность:

звонка в минуту.

Среднее число занятых каналов:

.

Проверим правильность вычислений – должно быть меньше : 2, 8 < 4.

Ответ: отказ получают 32, 6 % звонков, обслуживаются 67, 4 % поступающих звонков.

Пример 6.2. В мини-маркет поступает поток покупателей с интенсивностью 6 покупателей в минуту, которых обслуживают три контролера-кассира с интенсивностью 2 покупателя в минуту. Длина очереди ограничена 5 покупателями. Необходимо определить основные характеристики данной системы.

Решение.

1. Начальные данные:

число каналов ,

число мест в очереди (мини-маркет является многоканальной системой с ограниченной очередью),

интенсивность потока пациентов (п/мин);

интенсивность потока обслуживания (п/мин).

2. Возможные состояния системы:

S ₀ – покупателей нет (начальное состояние);

S ₁ – обслуживается один покупатель;

S ₂ – обслуживаются два покупателя;

S ₃ – обслуживаются три покупателя;

S ₄ – обслуживаются три покупателя и один стоит в очереди;

S ₅ – обслуживаются три покупателя и двое стоят в очереди;

S ₆ – обслуживаются три покупателя и трое стоят в очереди;

S ₇ – обслуживаются три покупателя и четверо стоят в очереди;

S ₈ – обслуживаются три покупателя и пятеро стоят в очереди (конечное состояние, т.к. в системе 3 канала и 5 мест в очереди).

3. Графическая модель системы представлена на рис. 6.2.

4. Относительные интенсивности переходов:

, , .

5. Вероятность начального состояния:

Вероятности остальных состояний:

,

,

,

,

,

,

,

.

Проверка правильности вычислений (сумма всех вероятностей должна быть приблизительно равна 1):

6. Вероятность отказа:

,

т.е. отказ получают 12, 6 % приходящих покупателей.

Вероятность обслуживания:

,

т.е. обслуживается 87, 4 % приходящих покупателей.

7. Абсолютная пропускная способность:

(покупателей / час).

Среднее число занятых каналов (среднее число обслуживаемых заявок):

.

Сравним и : т.к. 2, 622 < 3, то вычисления верны.

8. Характеристики очереди:

для определения средней длины очереди составим следующую схему:

Таблица

Среднее время ожидания в очереди:

.

9. Обобщенные характеристики системы:

Среднее число покупателей в мини-маркете:

(покупателей).

Среднее время пребывания покупателя в мини-маркете:

Ответ: обслуживается 87, 4 % потенциальных покупателей, отказ получают 12, 6 %; в среднем в очереди покупатель проводит 18, 9 с, всего на посещение мини-маркета уходит 48, 9 с.

Пример 6.3. В расчетном узле магазина самообслуживания работают 3 кассы. Интенсивность входного потока составляет 5 покупателей в минуту. Интенсивность обслуживания каждого контролера-кассира составляет 2 покупателя в минуту. Очередь не ограничена. Определить характеристики СМО.

Решение.

1. Начальные данные:

число каналов ,

длина очереди (магазин является многоканальной системой с неограниченной очередью)

интенсивность потока заявок (п/мин),

интенсивность потока обслуживания (п/мин).

2. Возможные состояния системы:

S ₀ – покупателей нет (начальное состояние);

S ₁ – обслуживается один покупатель;

S ₂ – обслуживаются два покупателя;

S ₃ – обслуживаются три покупателя;

S ₄ – обслуживаются три покупателя и один стоит в очереди;

S ₅ – обслуживаются три покупателя и двое стоят в очереди;

…

(конечного состояния нет)

3. Графическая модель системы:

4. Найдем уровень загрузки системы:

.

Проверим условие существования стационарного режима: .

2, 5 < 3, поэтому стационарный режим работы существует, т.е. система работает без перегрузок.

Среднее число занятых каналов:

.

5. Вероятность того, что пришедшая заявка застанет систему свободной, вычисляется по формуле:

.

Так как , то

Вероятность образования очереди:

.

6. , , т.к. обслуживаются все заявки.

7. Характеристики очереди.

Среднее число покупателей в очереди (средняя длина очереди):

Среднее время ожидания в очереди:

.

9. Обобщенные характеристики системы:

Среднее число покупателей в магазине:

(п.).

Среднее время пребывания в магазине:

Ответ: в среднем покупатель проводит в очереди 16, 74 с, всего на совершение покупок уходит 46, 74 с.