Оценка параметров трехфазных цепей с различными нагрузками

Цель занятия: Анализ и оценка рабочих параметров трехфазной цепи с активной и реактивной нагрузкой, соединенной по схеме звезда или треугольник.

Данная работа показывает особенности оценки параметров трехфазных цепей с нагрузкой, соединенной по схеме звезда или треугольник, а также с принципы построения векторных диаграмм для симметричной и несимметричной, активной и пассивной нагрузки. Для пояснения методики решения задач по трехфазным цепям приведены примеры с решениями и построе­нием векторных диаграмм.

На рисунке 6 приведен пример трехфазной цепи, содержащей трехфазный генератор и трехфазную нагрузку, соединенную по схеме звезда [4].

Пример 6.1. В 4-х проводную трехфазную сеть (рис. 6.2) с линейным напряжением U_Л = 380B включена звездой несимметричная нагрузка: в фазе А - конденсатор с со­противлением х_С(A)=10 Ом; в фазе В - катушка индуктивности с сопротивление R_L(B) = 8 Ом и х_L(C) = 6 Ом, в фазе С - активное сопротивление R_(C) = 5 Ом.

Для схемы (рис. 6.2.а) определить фазные токи, начертить в масштабе векторную диаграмму цепи и найти ток в нулевом проводе.

Решение:

1) U_A =U_B =U_C = U_Л / √ 3 =

380 / 1, 73 = 220 (B).

Рис. 6.2. Четырехпроводная трехфазная цепь

2. Полное сопротивление в каждой фазе:

Z_А = х_С(A)=10 e ^–j90˚ (Ом); Z_В = R_В²+X_В²· e ^{j arctg (x/r)} = 10· e ^{j 36}˚ ⁵⁰; Z_А = R_(C) = 5 e ^j0˚ (Ом).

3. Находим фазовые токи: I_A = U_A/x_A = 220· e ^j0˚ / 10· e ^j-90˚ = 22· e ^+j90˚ (A);

I_B = U_B/Z_В = 220· e^{– j120}˚ / 10· e ^j36˚ ⁵⁰ = 22· e^{– j156}˚ ⁵⁰ (A);

I_C = U_C/R_C = 220· e ^j120˚ / 5· e ^j0˚ = 44· e ^j120˚ (A).

Вектор тока I_A опережает вектор напряжения U_Aна угол φ = 90˚ (свойство С эл-та).

Вектор тока I_Bотстает от вектора напряжения U_В на угол φ _B (свойства L эл-та), который определяется из выражения: cos φ _B = R_B/Z_В = 8/10 = 0, 8. φ _B = 36˚ 50’.

Ток I_С совпадает с вектором напряжения U_C. Ток в нулевом проводе в масштабе построения равен гео­метрической сумме трех фазных токов, например, I_N = 66 A.

Ī _N = Ī _A + Ī _B + Ī _C.

Ī _N = (I_A· cos⁹⁰ +jI_A· sin⁹⁰)+(I_B· cos ^{– 156}˚ ⁵⁰ + jI_B· sin ^{– 156}˚ ⁵⁰)+(I_C· cos¹²⁰˚ + jI_C· sin¹²⁰˚);

Ī _N = + j22 + [22· (– 0, 92) + j22· (– 0, 40)] + [44· (– 0, 5) + j44· (0, 866)];

Ī _N = j22 + (– 20, 24 – j8, 8) + (– 22 +j38, 1) = (–42, 24 – j51, 3) (А);

I_N = (–42, 24)² + (– j51, 3)² · exp ^{j arctg (-x/-r)} = 66, 45· exp ^j+50˚ ³⁰ (А).

Далее определяем мощности, потребляемые нагрузками: ∑ Р; ∑ Q; ∑ S.

Мощность S = U∙ I’ в 3-х фазной цепи находят по сопряженному току I’.

Активная мощность составит: P = P_B + P_C = I’_B²∙ R_B + I’_C²∙ R_C (Вт).

Реактивная мощность составит: Q = Q_В + (-jQ_А) = I’_В²∙ Х_В + I’_A²∙ (-jХ_A).

Рис. 6.3. Трехпроводная схема соединения треугольником

Определить фазные токи, углы сдвига фаз и начертить в масштабе векторную диаграмму цепи, по которой определить числовые значения линейных токов.

Решение. Определим фазные токи и углы сдвига фаз:

I_AB = U_АВ/x_AB = 220· e ^j0˚ /10· e ^j–90˚ = 22· e ^j90˚ = j22 (A); (ток в С эл-те опережает);

I_BС = U_ВС/Z_BC = 220· e ^j-120˚ /5· e ^j36˚ ⁵⁰ = 44· e ^j–156˚ ⁵⁰ = (– 40, 35 – j17, 54) (A);

I_СA = U_СA/R_CA = 220· e ^j120˚ /10· e ^j0˚ = 22· e ^j120˚ = (–11 + j19, 05) (A);

Ī _A = Ī _AB – (Ī _CA) = j22–(–11+j19, 05) = j22+11–j19, 05 = (11+j3) = 11, 4· exp ^{j15, 15}˚ (А);

Ī _B = Ī _BC – (Ī _AB) = (–40, 35–j17, 54)–j22 = (– 40, 35– j39, 54) = 57, 06· e ^j44˚ ⁴⁰ (А);

Ī _C = Ī _CA – (Ī _BC) = (–11+j19, 05)–(–40, 35–j17, 54) = (29, 35+j36, 59) = 46, 9· e ^j51˚ ²⁶ (А).

Проверка: ∑ (Ī _A+Ī _В+Ī _С) = 0 = (11+j3)+(– 40, 35–j39, 54)+ (29, 35+j36, 59) = 0.

Далее определяем мощности, потребляемые нагрузками: ∑ Р; ∑ Q; ∑ S.

Мощность в 3-х фазной цепи S = U∙ I’ находят через сопряженный ток I’.

Активная мощность составит: P = P_BC + P_CA = I’_BC²∙ R_BC + I’_CA²∙ R_CA (Вт).

Реактивная мощность составит: Q = Q_ВС + (-jQ_АВ) = I’_ВС²∙ Х_ВС + I’_СА²∙ (-jХ_AB).

Пример 6.3. В трехфазную 4-х проводную сеть (рис. 6.4) с линейным напряжением U_Лин = 380B включена печь (симметричная нагрузка с сопротивлением R, соединенная треугольником), а также включены лампы накаливания (несимметричная нагрузка – звезда). Мощность каждой фазы печи P_П = 10000 Вт. Мощность каждой лампы Р_Л = 200 Вт, число ламп в фазах: n_A = 50; n_B = 40; n_C = 30.

Решение. Находим фазные токи, потребляемые печью:

I_AB = I_BC = I_CA = P_П/U_ном = 10∙ 1000/380 = 26, 3 (А).

2. Линейные токи, потреб-ляемые симметричной наг-рузкой нагревателей печи:

I_A=I_B=I_C= 3∙ 26, 3 = 45, 5 (А).

3. Определим фазные токи, потребляемые лампами.

Лампы сое­динены по схеме звезда и включены на фазные напряжения:

Рис. 6.4. Трехфазная цепь для примера №6.3

U_А = U_B = U_С = U_Ном / √ 3 = 220 (В).

Фазные токи составят: I_A = Р_Л∙ n_A/ U_А = 200∙ 50/220 = 45, 4 (A).

I_В = Р_Л∙ n_В/ U_В = 200∙ 40/220 = 36, 4 A. I_С = Р_Л∙ n_С/ U_С = 200∙ 30/220 = 27, 3 (A).

Ī _N = (45, 4)+[36, 4· (– 0, 5)+j36, 4· (– 0, 866)]+[27, 3· (– 0, 5) +j27, 3· (0, 866)]= (13, 55 – j7, 87),

I_N = 13, 55²+(-7, 87²)· exp ^{j arctg (х/r)} = 15, 67· exp ^j–30˚ (А).

4. Активная мощность в любой фазе составит: Р_i = U_Ф.i · I’_Ф.i = (U_Л.i · I_{Л. i}) / 3.

Определяем суммарную мощность, потребляемую нагрузками.

Строим векторы линейных и фазных токов.

Пример 6.4. Требуется определить линейные токи в нагрузке, соединенной тре­угольником, которая подключена к симметричному трехфазному генератору с линейным напряжениемE_Л = 220 В. Сопротивления фаз приемника имеют значе­ния: Z_AB = Z_BC = 50 Ом, Z_CA = (30 + j40) Ом.

Схема соединений источникаснагрузкой приведена на рис. 6.4, а.

Решение. Приемник - схема с неравномер­ной нагрузкой фаз генератора.

Вначале определяем фазные токи (они имеют двухиндексные обозначения):

Ī _AB = Ū _AB/Ż _AB = 220/50 = 4, 4 (A).

Ī _BC =Ū _BC/Ż _BC = 220·e ^{– j120}˚ /50 = 4, 4·e ^{– j120}˚ = 4, 4·(– 0, 5)+j4, 4·(– 0, 866)= – 2, 2 – j3, 81;

Ī _CA =Ū _CA/Ż _CA = 220·e^j120˚ /50 = 4, 4·e^j120˚ = 4, 4·(– 0, 5)+j4, 4·(+0, 866) = – 2, 2+j3, 81.

Затем определяем линейные токи (они обозначаются одноиндексно):

Ī _A = Ī _AB – (Ī _CA) = (4, 4) – (–2, 2 +j3, 81) = (6, 6 –j3, 81) = 7, 62·e ^{– j30}˚ (А);

Ī _B = Ī _BC – (Ī _AB) = (–2, 2 –j3, 81) – (4, 4) = (–6, 6 –j3, 81) = 7, 62·e^j210˚ (А);

Ī _C = Ī _CA – (Ī _BC) = (– 2, 2 +j3, 81) – (– 2, 2 – j3, 81) = +j7, 62 = 7, 62·e^j90˚ (А).

Рис. 6.5 Схема трехфазной цепи (а) и ее векторная диаграмма (б)

Сумма линейных токов в цепи составит:

Ī _A + Ī _B + Ī _C = (6, 6 –j3, 81)+(–6, 6 –j3, 81)+(j7, 62) = 0 (условие проверки).

Пример 6.5. Требуется определить токи в фазах приемника, соединенного звездой без нулевого провода, если сопротивления нагрузок имеют значения z_a = 5 Ом Z_В = Z_С = 10 Ом, фазное напряжение генератора Е = 100 В.

Построить векторную диаграмму для токов в цепи.

Решение. Определим нулевое напряжение. Поскольку два сопротивления нагрузки имеют одно и то же значение Z_В = Z_С, то основную формулу (а)

Ū _Nn = (Ē _AY_A + Ē _BY_B + Ē _CY_C)/(Y_A+Y_B+Y_C+Y₀), (а)

можно упростить.

Учитывая, что a ^{– 1} = e ^{– j120} ° = ( –1– j Ö 3/2), из форму-лы (а) получим формулу (b):

Ū _Nn=Ē _A(Y_B–Y_A)/(Y_B+2Y_A)=100(10–5)/(10+10)= 25V.

Рис. 6.6. Векторная диаграмма напряжений и токов.

Найдем напряжения на фазах приемника: Ū _А = (Ē _A – Ū ₀) = 100 – 25 = 75 (В);

Ū _В = (Ē _В–Ū ₀) = 100 a ^–1–25 = [100(–0, 5)+j100(–0, 866)]-25 = (–75–j86) = 115·e ^{– j139}˚ (B);

Ū _C = (Ē _C–Ū ₀) = 100 a –25 = [100(–0, 5)+j100(0, 866)]-25 = (–75+j86) = 115·e^j139˚ (B).

Определим токи в фазах приемника: Ī _A = (Ū _A /Ź _A) = 75/5 = 15 (A);

Ī _B =(Ū _B /Ź _B)=(115·e ^{– j139}˚)/10=(11, 5·e ^{– j139}˚); Ī _C =(Ū _C /Ź _C)=(115·e^j139˚)/10=(11, 5·e^j139˚).

Пример 6.6. Обратная задача. По векторной диаграмме для трехфазной цепи (рис. 6.7), с нагрузкой, включенной по схеме звезда, определить характер нагрузки каждой фазы и вычислить ее сопротивление, а также начертить схему цепи. Определить мощность Р, Q, S. Векторы линейных напряжений на схеме не показаны.

Решение. На векторной диаграмме видно, что ток в фазе А отстает от фазного напряжения U_А на угол φ _А = –5 3˚ 10'. Следовательно, в фазу А включена катушка с полным сопротивлением Z_A = u_A / i_A = 220/22 = 10 Ом.

Для цепи (рис. 6.7) определим активное и индуктивное сопротивление:

R_A = Z_A∙ cos ′ φ _А = 10cos ′ (+53˚ 10΄) = 10∙ 0, 6 = 6 (Ом); (cos ′ – сопряж. угол).

x_A = jZ_A∙ sin ′ φ _А = j10sin ′ (+53˚ 10΄) = j10∙ 0, 8 = j8 (Ом).

В фазе В ток I_B совпадает с напряжением U_B значит в фазу В включено активное сопротивление

R_B = U_B/I_B = 220/11 = 20 (Ом).

В фазе С ток I_С опережает напряж. U_С на угол φ _С = 36˚ 50' (вращение вектора по час. стрелке); значит в фазу С включены конденсатор и активное сопротивление.

Рис. 6.7. Обратная задача cos ′, sin ′ – сопряженный угол.

Полноесопротивление фазы С составит:

Z_C = U_C/I_C = 220/44 = 5 (Ом); R_С = Z_Сcos’φ _С = 5 cos’(– 36˚ 50΄) = 5∙ 0, 8 = 4 (Ом);

x_С = Z_Сsin φ _С = 5 sin’(– 36˚ 50΄)= – 5∙ 0, 6 = – 3 (Ом).

2. Определяем мощности, потребляемые цепью. Активная мощность составит:

P = P_A+P_B+P_C = I_A²∙ R_A + I_B²∙ R_B + I_C²∙ R_C = 22²∙ 6+11²∙ 20+44²∙ 4 = 13 065 (Вт).

Реактивная мощность составит:

Q = Q_A + Q_C = I_A²∙ Х_L + I_С²∙ Х_С = 22²∙ j8 +(44²∙ – j3) = – j1936 ВАР = – 1, 93 (кВАр).

Дано: U_Ф =10В; R =10; X_L =j10; X_C = –j10;

I_A = U_A/R_A = 10·e ^j0˚ /10·e ^j0˚ = 1 (A).

I_B = U_B/X_C = 10·e ^{– j120}˚ /10·e ^{– j90}˚ = 1·e ^{– j30}˚ (A).

I_C = U_C/X_L = 10·e ^j120˚ /10·e ^j90˚ = 1·e ^j30˚ (A).

I _N = I _A+ I _B+ I _C =1+(0, 866–j0, 5)+(0, 866+j0, 5)=2, 73.

Поменяв местами элементы цепи увидим, что вектор тока I _N поветнется на φ =120^о.

Дано: U_Ф =10В; R =10; X_L =j10; X_C = –j10;

I_A = U_A/X_L = 10·e ^j0˚ /10·e ^j90˚ = 1·e ^{– j90}˚ (A).

I_B = U_B/X_C = 10·e ^{– j120}˚ /10·e^j0˚ = 1·e ^{– j120}˚ (A).

I_C = U_C/X_C = 10·e ^j120˚ /10·e ^{– j90}˚ = 1·e ^j210˚ (A).

I _N = I _A + I _B + I _C = -j1+ (-0, 5-j0, 866) + (-0, 866-j0, 5) = – 1, 366 –j2, 366 = 2, 73·e ^j60˚ (A).

Если вновь переместить элементы R, L, C, то вектор тока I _N вновь повернется на φ =120 ^о.