Оценка параметров разветвленной цепи с источником синусоидальной ЭДС

Цель занятия: приобретение умений и навыков анализа и оценки параметров разветвленной цепи с источником ЭДС синусоидального тока.

Пример 5.1. Выполним расчет параметров разветвленной цепи (рис. 5.1).

Рис. 5.1, а. Расчетная схема. 5.1, б. – векторная диаграмма U.

Дано: i_2(t) = 5, 64 sin 400t; R₁ = 9 (Ом); R₂ = 0 (Ом); R₃ = 4 (Ом);

L₁ = L₃ = 0; L₂ = 0, 005 (Гн); С₁ = С₃ = 625·10^–6 (Ф); C₂ = 0.

Решение: X_L2 =ω L₂ = 400·5·10^–3 = (j2); X_C1=X_C3 = 1/ω C₃ =10⁶/(400·625)= (–j4);

Z ₁=R₁+X_C1=(9–j4); Z₁=9, 85· е ^–j24˚. Z ₂=jX_L2=j2; Z ₃=R₃+X_C3=(4–j4); Z₃=5, 65· е ^–j45˚.

=3, 65 е ^{–j37, 4}˚.

Z _Ц = Z ₂ + Z _{1, 3} = j2+(2, 9–j2, 22) = (2, 9–j0, 22). Z_Ц = 2, 908· е ^{–j4, 33}˚.

Ī _L = Ī ₂ =5, 64/√ 2 =4 A; I = 4· е ^j0˚. Ū _L =Ū ₂ =Ī _L2·Z₂ =4·j2 = j8; U_L = 8· е ^j90˚.

Ē = Ī ₂· Z _Ц = 4·(2, 9–j0, 22) = (11, 6–j0, 88); E = 11, 63· е ^{–j4, 33}˚.

Ū _AB = Ū ₁= Ū ₃ = Ē – Ū _L = (11, 6–j0, 88)–j8 = (11, 6–j8, 88); U_AB = 14, 6· е ^{–j37, 43}˚.

Ī ₁ = Ū _AB/ Z ₁ = (11, 6–j8, 88)·(9+j4)/[(9–j4)·(9+j4)] = (1, 442–j0, 345).

I₁ = 1.48 A; Ψ _I1 = arctg (-0, 345/1, 442) = - 13˚ 27. I₁ = 1, 48· е ^{–j13, 27}˚.

i_1(t) = 2, 82sin(400t-13˚);

Ī ₃ = Ū _AB/ Z ₃ = (11, 6–j8, 88)·(4+j4)/[(4–j4)·(4+j4)] = (2, 54+j0, 345);

I₃ = 2, 58 A; Ψ _I3 = arctg (0, 34/2, 54) = 7˚ 37. I₃ = 2, 58· е ^{j7, 37}˚.

i_3(t) = 3, 63sin(400t +7˚ 37); S = E·I₂ = 11, 63· е ^{–j4, 33}˚ ·4 е ^j0˚ = 46, 52· е ^{–j4, 33}˚.

Ś = Ī ʹ ₂·Ū ₂ + Ī ʹ ₁·Ū _AB + Ī ʹ ₃·Ū _AB = (4·j8)+[(1, 442–j0, 345)·(11, 6–j8, 88)]+

+[(2, 54+j0, 345)·(11, 6–j8, 88)] = 46, 18 –j3, 51; где: P = 46, 38 (Вт); Q = -j3, 51(ВАР).

S = ·e ^{jarctg –(3, 51/46, 38)} = 46, 52·е^{–j4, 33}˚ (ВА). (использ. Ī ʹ - сопряжен.).

*) Проверка справедливости отношений: (2, 9/-j0, 22)= R/X = P/Q =(46, 38/-j3, 51)≈ 13, 2.

Пример 5.2. Выполним расчета параметров резонансной схемы (рис. 5.2)

Для схемы (рис. 5.2) требуется определить резонансные частоты и построить график частотной характеристики входного сопротивления (или входной проводимости).

Дано:

L₀ = 0, 001 Гн; L₃ = 0, 006 Гн; L₃/L₀ = 6;

C₀ = 2 мкФ; С₁ = 120 мкФ; C₁/C₀ = 60;

C₂/C₀ = 30, С₂ = 60 мкФ;

C₃/C₀= 60, С₃ = 120 мкФ.

Решение: Условие резонанса со смешанным соединением нескольких индуктивных и емкостных элементов заключается в равенстве нулю мнимой части входного сопротивления.

Найдем выражение входного сопротивления цепи:

Конденсатор С₃ и катушка L₃ соединены параллельно.

Проводимость этой части цепи равна:

(Сим).

Сопротивления этой части цепи равно:

(Ом).

Конденсатор С₂ соединен последовательно с частью цепи, сопротивление которой равно Z₃.

Сопротивления этой части цепи равно:

(Ом).

Проводимость этой части цепи равно:

(Сим).

Входная проводимость цепи равна:

(Сим).

Входное сопротивление цепи составит:

(Ом).

Если приравнять числитель к нулю, то получим резонансную частоту, соответствующую резонансу напряжений:

(рад/с).

Если приравнять знаменатель к нулю, то получим резонансную частоту, соответствующую резонансу токов:

(рад/с).

График частотной характеристики входного сопротивления приведен на рис. 5.3.

Рис. 5.3. График амплитудно-частотной характеристики входного сопротивления.

Значения тригонометрических функций приведены в Приложении.

Рекомендуемая литература

1. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника. – М.: Высш. шк., 2003. – 540 с.

2. Рекус Г.Г. Основы электротехники и промышленной электроники в примерах

и задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: Высш. шк., 2008. – 343 с.

3. Алиев И.И. Электротехнический справочник. – М.: Радио, 2000. – 384 с.

4. Сборник задач по электротехнике и основам электроники / Под ред. В.Г. Герасимова. – М.: Высш. шк., 1987. – 288 с.

5. Березкина Т.Ф., Гусев Н.Г. Задачник по общей электротехнике с основами электроники. – М.: Высш. шк., 1983. – 368с.