Оценка параметров неразветвленной цепи с источником синусоидальной ЭДС

Цель занятия: Анализ и оценка параметров неразветвленной цепи с источником синусоидальной ЭДС, используя комплексный метод.

Для цепи с синусоидальным источником и нагрузками R, L, C типа необходимо учитывать свойства реактивных элементов, сопротивление которых (реактивное Х и полное Z) зависят от частоты источника [6]. Кроме этого, для цепей с реактивными элементами необходимо учитывать вносимый ими фазовый сдвиг.

При решении задач комплексным методом, используют правила Эйлера:

1) j·j = -j·-j = -1; 2) –j·j = 1; 3) j³ = -j; 4) 1/j = -j; 5) 1/-j = j; 6) cosφ +jsinφ = e^jφ .

Свойство: Умножить любое число на j, значит повернуть его вектор на угол 90^о.

Рассмотрим способ записи параметров цепи методом комплексных величин

Пример 1. Даны комплексы напряжений и тока в нагрузке: Ū = (20+j40); Ī = (5+j3).

Определим напряжения на элементах и ток в

цепи в их мгновенных значениях.

Решение. Активная часть: U_R = 20 В; I_R = 5 А;

Реактивная часть: U_Х = 40 В; I_Х = 3 А.

На комплексной плоскости заданным значениям действующих величин напряжения и тока соответствуют векторы Ū и Ī.

Длины векторов (их модули) - как действующие значения напряжения и тока:

U = U_R²+U_X²; U = 20²+40² = 44, 7 (B); I = 5²+3² = 5, 83 (A).

Аргумент – начальный фазовый сдвиг напряжения и тока составят:

tg ψ _u = U_Х/U_R = 40/20 = 2; ψ _u = 63°25’; tg ψ _i = I_Х/I_R = 3/5 = 0, 6; ψ _i = 31°.

Запишем комплексы напряжения и тока в показательной форме (2-я способами):

1) U = (U_m / 2)∙ exp ^{jψ u} = 44, 7∙ exp ^j63°25’(B); I = (I _m / 2)∙ exp ^{jψ i} = 5, 83∙ exp ^j31°(A);

2) U = Ur²+Ux²∙ e ^{jarctg Ux/Ur} = 44, 7∙ e ^j63°25’; I = Ir²+Ix²∙ e ^{jarctg Ix/Ir} = 5, 83∙ e ^j31°.

Комплексы амплитуд составят: U_m = √ 2∙ U ∙ exp ^{jψ u} = 63∙ exp ^j63°25’(B);

I_m = √ 2∙ I ∙ exp ^{jψ i} = 8, 22∙ exp ^j31(A).

Для записи мгновенных значений параметров в виде синусоидальных функций можно использовать мнимую часть (Im) комплексных изображений:

u(t) = U_m∙ e ^{jω t} = 63, 3 e ^{j(63°25’+ ω t)} = 63, 3sin(ω t + 63°25’) (B).

i(t) = I_m∙ e ^{jω t} = 8, 25 e ^{j(31°+ ω t)} = 8, 25sin(ω t + 31°) (А).

Обратная задача: запись в тригонометрической и алгебраической форме:

U = [(U_m/√ 2)cos63°25’+j(U_m/√ 2)sin63°25’]=44, 8·cos0, 447+j44, 8·sin0, 894 = (20+j40).

I = (I_m/√ 2)cos31° + j(I_m/√ 2)sin31° = 5, 83·cos0, 858 + j5, 83·sin0, 515 = (5 + j3).

Определим характер нагрузки и величины элементов, входящих в цепь:

полное сопротивление цепи: Ź = R+jX =Ū /Ī =(20+j40)/(5+j3) = (6, 47 + j4, 11),

т.е. в цепи преобладает активно-индуктивная нагрузка: R ≈ 6, 5; X_L ≈ 4, 1(Ом).