Оценка параметров разветвленной цепи с источниками постоянной ЭДС

Цель занятия: приобретение умений и навыков определения токов в разветвленной цепи с несколькими источниками постоянной ЭДС.

Пример 3.1. В схеме рис. 3.1 определить токи в ветвях цепи узловым методом.

Для определения параметров электрической схемы данным методом, необходимо:

1) составить уравнения для токов в узлах, используя первый закон Кирхгофа:

(кол-во уравнений равно кол-ву узлов - 1):

Узел А) I₄ + I₆ - I₁ = 0; (1)

Узел В) I₁ + I₂ + I₃ = 0; (2)

Узел С) I₅ – I₂ – I₆ = 0. (3)

2) составить уравнения для контуров, используя второй закон Кирхгофа:

(кол-во уравнений равно кол-ву контуров):

Контур I: E₁ + E₃ – I₁·R₁ – I₃·R₃ – I₄·R₄ = 0; I₁·R₁ + I₃·R₃ + I₄·R₄ = E₁ + E₃; (4)

Контур II: E₂ + E₃ – I₂·R₂ – I₃·R₃ – I₅·R₅ = 0; I₂·R₂ + I₃·R₃ + I₅·R₅ = E₂ + E₃; (5)

Контур III: E₁ – E₂ – I₁·R₁ + I₂·R₂ – I₆·R₆ = 0; I₁·R₁ – I₂·R₂ + I₆·R₆ = E₁ – E₂. (6)

Используя матричный метод расчета, определяем искомые токи I₁ ÷ I₆.

Если ток получил знак (–), то направление его вектора необходимо поменять.

Пример 3.2. Определить токи в ветвях схемы методом контурных токов.

Для определения параметров схемы методом контурных токов необходимо:

1) составить уравнения для контуров, используя только 2-й закон Кирхгофа;

2) используя правила, описать контурные и смежные сопротивления и токи:

* контурным ЭДС является сумма ЭДС, входящих в данный контур;

* контурным сопротивлением будет сумма сопротивлений данного контура;

R₁₁ = (R₁+R₃+R₄); R₂₂ = (R₂+R₃+R₅); R₃₃ = (R₁+R₂+R₆).

Смежным, является сопротивление, связывающее два соседних контура.

*) контурным является независимый (самостоятельный) ток данного контура;

[I_К1= I₄; I_К2 = I₅; I_К3 = I₆].

Смежным, является ток, протекающий между двумя соседними контурами:

[ I₁ = I_К1+I_К3; I₂ = I_К2 - I_К3; I₃ = I_К1+ I_К2 ].

*(Если направления обходов соседних контуров совпадают, то при описании смежных токов контурные токи суммируют, а если нет, то токи вычитают).

1) I_К1·(R₁+R₃+R₄)+I_К2·R₃+I_К3·R₁ = E₁+E₃; I_К1·R₁₁+I_К2·R₁₂+I_К3·R₁₃ = E_К1; (1)

2) I_К1·R₃+I_К2·(R₂+R₃+R₅) –I_К3·R₂ =E₂+E₃; I_К1·R₂₁+I_К2·R₂₂–I_К3·R₂₃ = E_К2; (2)

3) I_К1R₁–I_К2R₂+(R₁+R₂+R₆)I_К3 = E₁–E₂; I_К1·R₃₁–I_К2·R₃₂+I_К3·R₃₃ = E_К3. (3)

В результате решения матрицы можно определить контурные токи I_К1 ÷ I_К3.

Оставшиеся искомые токи определяют как смежные токи.

Для проверки результатов используют уравнение баланса мощностей.

Пример 3.2, а. Используя законы Кирхгофа определить токи в ветвях для схемы рис.3.2, а.

E₁ =100; E₂ =120 (В); r₁ = r₂ = 0, 5; R₁= 5; R₂ = 10; R₃ = 2; R₄ = 10 (Ом).

1) составить уравнения для токов в узлах, используя первый закон Кирхгофа:

Рис. 3.2. Схема для примера №3.2

узел а) I₁ + I₂ + I₃ = 0; узел b) I₅ – I₁ – I₄ = 0; узел с) I₄ – I₂ – I₆ = 0.

2) составить уравнения для контуров, используя второй закон Кирхгофа:

(кол-во уравнений равно кол-ву контуров):

Контур I: E₁ – I₁·R₁ + I₃·R₃ – I₅·r₁ = 0; I₁·R₁ – I₃·R₃ + I₅·r₁ = E₁;

Контур II: –E₂ – I₆·r₂ – I₃·R₃ + I₂·R₂ = 0; I₂·R₂ – I₆·r₂ – I₃·R₃ = E₂;

Контур III: – I₄·R₄ – I₂·R₂ + I₁·R₁ = 0; I₂·R₂ – I₁·R₁ + I₄·R₄ = 0.

Используя матричный метод определяем искомые токи I₁ ÷ I₆.

Если ток получил знак (–), то его направление в схеме необходимо развернуть.

Пример 3.2б. Для рис.3.2, b определить токи в ветвях методом контурных токов

I) E₁ = (R₁+ R₃+ r₁)·I_K1 –R₃·I_K2 – R₁·I_K3; 100 = 7, 5·I_K1 –2·I_K2 – 5·I_K3;

II) –E₂ = R₃·I_K1+(R₂+R₃+r₂)·I_K2 –R₂·I_K3; -120 = –2·I_K1 + 12, 5·I_K2 –10·I_K3;

III) 0 = –R₁·I_K1–R₂·I_K2 +(R₁+R₂+R₄)·I_K3; 0 = –5·I_K1 –10·I_K2 +25·I_K3.

Выразим контурные токи I_K, например, ток I_K.3 через ток I_K1 и I_K2.

I_K.3 = (5/25)·I_K.1+ (10/25)·I_K.2;

100 = 6, 5·I_K1 –4·I_K2;

–120 = –4·I_K1 + 8, 5·I_K2.

Решая совместно уравнения, получим: I_K3 = –14, 4 А; I_K1 = –5, 2 А; I_K2 = –33, 5 (А).

Определим токи в ветвях:

I₄ = – I_K.3 = 14, 4 А; I₅ = – I_K.1 = 5, 2 А; I₆ = – I_K.2 = 33, 5 (А);

I₁ = I_K1 – I_K3 = –5, 2 + 14, 4 = 9, 2 (А);

I₂ = I_K3 – I_K2 = –14, 4 + 33, 5 = 19, 1 (А);

I₃ = I_K1 – I_K2 = –5, 2 + 33, 5 = 28, 3 (А).

Для проверки результатов используют уравнение баланса мощностей:

_{m n}

∑ S_И = ∑ P_H; E₁· I₁ + E₂· I₂ = I₁²· R₁+I₂²· R₂+I₃²· R₃+I₄²· R₄+I₅²· R₅+I₆²· R₆.

^{i = 1 i = 1}

Пример 3.3. Расчет параметров цепи с источниками ЭДС и источником тока.

Определим токи в ветвях схемы (рис. 3.3, а) используя законы Кирхгофа.

Параметры эле­ментов схемы: Е₁ = 40 В, Е₂ = 20 В, E₄ = 10 В, J₆ =3 А, r₁ =5 Ом.

r₃ =5 Ом, r₄ =20 Ом, r₅ =10 Ом. Рис. 3.3. Исходная (а) и расчетная (б) схемы.

Решение. Цепь образована шестью ветвями (n_В = 6).

В ветвях 1, 2, 4 содержатся ист. ЭДС E₁, E₂, Е₄, а ветвь 6 содержит ис­точник тока J₆.

Рисунок 3.3. Разветвленная цепь с источниками ЭДС и источником тока

В цепи имеются четыре узла, три из которых можно считать независимыми. Выберем направления токов в ветвях (рис. 3.3, а) и составим уравнение по 1-му закону Кирх­гофа для узлов 1, 2, 3:

– I₂ + I₅ – I₆ = 0.

I₁ + I₄ – I₅ = 0.

– I₃ - I₄ + I₆ = 0.

В схеме три независимых контура. По 2-му закону Кирхгофа можно составить 3 уравнения, однако, учи­тывая, что ток в ветви 6 равен току источника J₆ , достаточно соста­вить уравнения только для 2-х контуров 1 и 2, в которые не входит ветвь с источником тока. Затем выберем направления обхода этих кон­туров, как показано на рис. 3.3, б, и запишем уравнения Кирхгофа:

R₁I₁ + R₅I₅ = E₁ + E₂.

R₁I₁ + R₃I₃ - R₄I₄ = E₁ - E₄ = 0.

Полная система уравнений, составленная по закону Кирхгофа, имеет вид:

–I₂ + I₅ = J₆.

I₁ + I₄ – I₅ = 0.

I₃ – I₄ = J₆.

R₁I₁ + R₅I₅ = E₁ + E₂.

R₁I₁ + R₃I₃ – R₄I₄ = E₁ – E₄.

Эту систему уравнений представим в матричной форме (матричное уравнение):

Решая матричное уравнение, находим определители D, D₁, D₂, D₃, по которым вычислим значения токов: I₁ = 3, 88; I₂ = 1, 05; I₃ = 2, 82; I₄ = 0, 17; I₅ = 4, 05 (А).